Question

如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BP=BQ，連結(jié)CQ．
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，連結(jié)PQ，判斷△PQC的形狀并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）易證△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）根據(jù)PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC為直角三角形．

解答：解：（1）AP=CQ．理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ為等邊三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠ABP=∠CBQ BP=BQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ；

（2）∵等邊△ABC和等邊△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ²+CQ²=PC²，
∴△PQC為直角三角形（勾股定理逆定理）．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理逆定理的運用，本題中求證△ABP≌△CBQ是解題的關(guān)鍵．