Question

在數(shù)學中，為了簡便，記

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，

n

k=1

(x+k)=（x+1）+（x+2）+…+（x+n）．
（1）請你用以上記法表示：1+2+3+…+2012=

 

；
（2）化簡

10

k=1

(x-k)；
（3）化簡

3

k=1

[（x-k）（x-k-1）]．

Answer 1

考點：有理數(shù)的混合運算

專題：新定義

分析：（1）根據(jù)題意，令n=2012，代入

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律

10

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+…+（x-n），令n=10代入，去括號合并即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)總結(jié)的規(guī)律，令k=1，2，3分別代入（x-k）（x-k-1）中，并把求出三個式子相加，利用多項式的乘法法則化簡，合并同類項后即可得到最后結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)

n

k=1

k=1+2+3+…+（n-1）+n，
令n=2012，得到1+2+3+…+2012=

2012

k=1

；
（2）根據(jù)題意得：

10

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-10）
=10x-（1+2+3+…+10）=10x-55；
（3）根據(jù)題意得：

3

k=1

[（x-k）（x-k-1）]
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12
=3x²-15x+20．
故答案為：

2012

k=1

．

點評：此題考查了整式的混合運算，以及新定義．此題培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題的能力，以及歸納總結(jié)的能力．認真觀察題中的新定義，得出相應的一般性的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．