Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交底邊BC于D．
（1）求證：BD=CD：
（2）若AB=5，tan∠ABC=

3

4

，在腰AC上取一點E使AE=1.8，試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：切線的判定,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AD．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明；
（2）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD∥AC，再證明△ABD∽△DCE，得出∠ADB=∠DEC=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODE=∠DEC=90°，從而證明DE為⊙O的切線．

解答：（1）證明：連接AD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；

（2）解：DE為⊙O的切線．理由如下：
連接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC．
在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5，tan∠ABC=

3

4

，
∴AD=3，BD=4．
在△DCE中，DC=4，CE=5-1.8=3.2，
∴

AB

BD

=

DC

CE

=

5

4

．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△ABD與△DCE中，

AB DC = BD CE ∠B=∠C

，
∴△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴DE與⊙O相切．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是直角；等腰三角形的性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線；三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)；切線的判定，即經(jīng)過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．注意：構(gòu)造直徑所對的圓周角和連接過切點的半徑是圓中常見的輔助線之一．