Question

【題目】如圖，正方形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．作射線(xiàn)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與邊交于點(diǎn)，連接．

（1）畫(huà)圖，完善圖形．

（2）三條線(xiàn)段，，之間有無(wú)確定的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）過(guò)點(diǎn)作于．若線(xiàn)段的最大值為4，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）依題意補(bǔ)全圖形即可；
（2將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，，得出,．證明，得出，即可得出結(jié)論；
（3）確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解：（1）畫(huà)圖，如圖所示：

（2），，之間有確定的數(shù)量關(guān)系，．

理由如下．

如圖1，

∵是正方形，

∴可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到．

∴，．

∴，，．

∴Q，B，M在同一條直線(xiàn)上．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

（3）如圖2，

由（2），，

∵，

∴，

∴，

當(dāng)點(diǎn)還在點(diǎn)處時(shí)，是正方形的對(duì)角線(xiàn)，此時(shí)最長(zhǎng)，

即正方形的對(duì)角線(xiàn)為4．

∴正方形的邊長(zhǎng)，

∴，

當(dāng)點(diǎn)從到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)沿圓弧到點(diǎn)，圓心角．

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．