Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系的第一象限中，有一點A（1，2），AB∥x軸且AB＝6，點C在線段AB的垂直平分線上，且AC＝5，將拋物線y＝ax2（a＞0）的對稱軸右側(cè)的圖象記作G．

（1）若G經(jīng)過C點，求拋物線的解析式；

（2）若G與△ABC有交點．

①求a的取值范圍；②當0＜y≤8時，雙曲線經(jīng)過G上一點，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②k的最大值為112．

【解析】

（1）如圖1中，作CH⊥AB于H．求出點C坐標即可解決問題；

（2）①當拋物線經(jīng)過點A時，a＝2，當拋物線經(jīng)過點B時，2＝49a，可得a＝，由此即可解決問題；

②由題意當a＝時，y＝x2，當y＝8時，8＝x2，因為x＞0，推出x＝14，由題意當反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點（14，8）時k的值最大；

解：（1）如圖1中，作CH⊥AB于H．

∵CA＝CB＝5，CH⊥AB，

∴AH＝HB＝3，

在Rt△ACH中，CH＝＝4，

∴C（4，6），

∵拋物線y＝ax2（a＞0）經(jīng)過C點，

∴6＝16a，

∴a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2．

（2）①∵A（1，2），B（7，2），

當拋物線經(jīng)過點A時，a＝2，

當拋物線經(jīng)過點B時，2＝49a，

∴a＝，

∵若G與△ABC有交點，

∴≤a≤2．

②由題意當a＝時，y＝x2，

當y＝8時，8＝x2，

∴x＞0，

∴x＝14，

∴當反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點（14，8）時k的值最大，此時k＝112，

∴k的最大值為112．