Question

如圖△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，E為垂足，F(xiàn)為AB上一點．以BF為直徑的圓與AE相切于M點，交BC于G點．
（1）求證：BM平分∠ABC；
（2）當BC=4，cosC=

1

2

時，
①求⊙O的半徑；
②求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π與根號）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）連OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥AE，而AE⊥BC，則OM∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠OMB=∠MBC，而∠OBM=∠OMB，所以∠OBM=∠MBE；
（2）①設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=2，由cos∠C=

1

2

得到∠C=60°，則可判斷△ABC為等邊三角形，所以AB=AC=BC=4，則∠OAM=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AO=2R，則2R+R=4，解得R=

4

3

；
②過O作OH⊥BM，H為垂足，根據(jù)垂徑定理得BH=MH，易得∠AOM=60°，∠ABH=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得OH=

1

2

OB=

2

3

，BH=

3

OH=

2

3

3

，所以BM=

4

3

3

，然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式和S_陰=S_扇形FOM+S_△OBM進行計算．

解答：（1）證明：連OM，如圖，
∵⊙O與AE相切于M，
∴OM⊥AE，
∵AE⊥BC，
∴OM∥BC，
∴∠OMB=∠MBC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠OBM=∠MBE，
∴BM平分∠ABC；
（2）解：①設(shè)⊙O的半徑為R，
∵AB=AC，BC=4，AE⊥BC，
∴BE=CE=2，
在Rt△ACE中，cos∠C=

1

2

，
∴∠C=60°
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∴∠OAM=30°，
∴AO=2R，
而AB=OA+BO，
∴2R+R=4，
∴R=

4

3

，
即⊙O的半徑為

4

3

；
②過O作OH⊥BM，H為垂足，如圖，
∵OH⊥BM，
∴BH=MH，
∵OM∥BE，
∴∠AOM=60°，
∴∠ABH=30°，
∴OH=

1

2

OB=

2

3

，BH=

3

OH=

2

3

3

，
∴BM=

4

3

3

，
∴S_△OBM=

1

2

OH•BM=

4

9

3

，
而S_扇形FOM=

60π× 16 9

360

=

8

27

π，
∴S_陰=S_扇形FOM+S_△OBM=

8

27

π+

4

9

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了扇形的面積公式和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．