Question

已知拋物線y=-

1

4

x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連結(jié)AB，BC，D是線段OB上一動點，以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF，連結(jié)BF，若S_△OBC=8，AC=BC．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）求證：BF⊥AB；
（Ⅲ）求∠FBE的度數(shù)；
（Ⅳ）當D點沿x軸正方向由點O移動以點B時，點E也隨著運動，求出點E所走過的路線長是多少？直接寫出結(jié)果，不必寫過程．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為y軸，則b=0；然后利用方程與二次函數(shù)的關(guān)系求得點B、C的坐標，由S_△OBC=8可以求得c的值；
（2）由拋物線y=-

1

4

x²+4交x軸于點A、B，當x=0，求出圖象與y軸的交點坐標，以及y=0，求出圖象與x軸的交點坐標，即可得出三角形的形狀；首先證明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）如圖，連接BE，過點E作EM⊥x軸于點M．易證△ODC≌△DME，則DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．則∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故
∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知，點E在定直線上，當點D沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路程長等于BC的長度．

解答：解：（1）如圖，∵AC=BC，
∴該拋物線的對稱軸是y軸，則b=0．
∴C（0，c），B（

4c

，0）．
∵S_△OBC=8，
∴

1

2

OC•OB=

1

2

×c×

4c

=8，
解得c=4（c＞0）．
故該拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+4；

（2）證明：由（1）得到拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如圖，又∵四邊形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，

AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF

，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如圖，連接BE，過點E作EM⊥x軸于點M．
∵∠ODC+∠EDM=90°，∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠CDO=∠DEM，
在△ODC和△MED中，

∠COD=∠EMD ∠ODC=∠MED CD=DE

，
∴△ODC≌△DME（AAS），
∴DM=OC=4，OD=EM，
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，點E在定直線上，當點D沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路程長等于BC=

42+42

=4

2

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（4）中弄清點E所走過的路程是解題的關(guān)鍵．