Question

如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．

（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度也在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；

 

（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q，O，A，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）線段AB長度的最小值為4.

理由如下：

連接OP，如答圖8所示.

 

答圖8

∵AB切⊙O于P，

∴OP⊥AB.

取AB的中點(diǎn)C，

則AB=2OC；

當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，

即AB最短，

此時(shí)AB=4.

（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q.

 

答圖9

如答圖9,設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形,

∵∠APO=90°，

∴四邊形APOQ為矩形，

又∵OP=OQ，

∴四邊形APOQ為正方形，

∴OQ=QA，∠QOA=45°.

在Rt△OQA中，

根據(jù)OQ=2，∠AOQ=45°，

得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，－）；

如答圖10，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形,

 

答圖10

∵OQ∥PA，∠APO=90°，

∴∠POQ=90°，

又∵OP=OQ，

∴∠PQO=45°，

∵PQ∥OA，

∴PQ⊥y軸.

設(shè)PQ⊥y軸于點(diǎn)H，

在Rt△OHQ中，根據(jù)OQ=2，∠HQO=45°，

得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（－，）．

∴符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－，）或（，－）．