【題目】如圖在正方形ABCD中,E,FG,H分別是ADDC,BC,CD上的點,連接EF,GH

EFGH,則必有EF=GH

EF=GH,則必有EFGH

判斷上述兩個命題是否成立,若成立,請說明理由;若不成立,請舉出反例.

【答案】①②兩個命題成立;理由見解析.

【解析】

①作GMCDM,FNADN,證明△EFN≌△HGM(ASA),即可得出EF=GH;

②作GMCDM,FNADN,證明RtEFNRtHGM(HL),得出∠OGQ=PFQ,證出∠PQF+PFQ=90°,即可得出結(jié)論.

上述兩個命題成立.理由如下:

①作GMCDMFNADN,如圖所示,則∠GMH=FNE=90°.

ABCD是正方形,

∴∠A=D=90°.

ADMG是矩形,

GM=AD,

同理可證:NFCD是矩形,

NF=DC

∵四邊形ABCD是正方形,

AD=DC,

FN=GM

∵∠FND=D=GMD=90°,

∴∠MON=90°,

∴∠GOF=MON=90°,

∴∠OGQ+OQG=90°.

EFGH,

∴∠PFQ+PQF=90°.

∵∠OQG=PQF

∴∠OGQ=PFQ

在△EFN和△HGM中,∵,

∴△EFN≌△HGM(ASA),

EF=GH;

②作GMCDM,FNADN,如圖所示,則∠GMH=FNE=90°.

ABCD是正方形,

∴∠A=D=90°.

ADMG是矩形,

GM=AD,

同理可證:NFCD是矩形,

NF=DC

∵四邊形ABCD是正方形,

AD=DC,

FN=GM

RtEFNRtHGM中,∵,

RtEFNRtHGM(HL)

∴∠OGQ=PFQ

∵∠OGQ+OQG=90°,∠OQG=PQF

∴∠PQF+PFQ=90°,

∴∠FPQ=90°,

EFGH

練習冊系列答案
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