某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部△CDG是等腰三角形,固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).GE最大高度為3米,△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.設(shè)MN到AB之間距離為x米(0≤x≤3)
(1)x>1時(shí),MN=
 
(用x表示);
(2)試將△EMN的面積y(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù);  
(3)請(qǐng)你探究y有無(wú)最大值?若有,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):二次函數(shù)的應(yīng)用
專題:
分析:(1)利用△MNG∽△DCG,得出
MN
DC
=
GH
GF
,得出答案即可;
(2)本題要分情況解答(0<x≤1;1<x<1+
3
).當(dāng)0<x≤1時(shí),可直接得出三角形的面積函數(shù),當(dāng)1<x<1+
3
,連接EG,交CD于點(diǎn)F,交MN于點(diǎn)H,先求FG,再證△MNG∽△DCG,繼而得出三角形面積函數(shù)
(3)本題也要分兩種情況解答:當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)以及當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.
當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí),S=x,可直接由圖得出取值范圍
當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí),由二次函數(shù)性質(zhì)可知,在對(duì)稱軸時(shí)取得最大值
解答:解:(1)∵M(jìn)N∥CD,
∴△MNG∽△DCG,
MN
DC
=
GH
GF

∴MN=
2(
3
+1-x)
3
;
(2)分兩種情況:
①如圖1所示,當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng),即0<x≤1時(shí),
△EMN的面積S=
1
2
×2×x=x;
②如圖2所示,當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng),即1<x<1+
3
時(shí),
如圖,連接EG,交CD于點(diǎn)F,交MN于點(diǎn)H,
∵E為AB中點(diǎn),
∴F為CD中點(diǎn),GF⊥CD,且FG=
3

又∵M(jìn)N∥CD,
∴△MNG∽△DCG,
MN
DC
=
GH
GF
,
∴MN=
2(
3
+1-x)
3
,
故△EMN的面積S=
1
2
×
2(
3
+1-x)
3
×x=-
3
3
x2+(1+
3
3
)x.
綜合可得:S=
x,(0<x≤1)
-
3
3
x2+(1+
3
3
)x.(1<x<1+
3
)
;

(3)分兩種情況:
①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng),即0<x≤1時(shí),S=x,
∵S隨x的增大而增大,
又∵0<x≤1,
∴當(dāng)x=1時(shí),S有最大值1;
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng),即1<x<1+
3
時(shí),S=-
3
3
x2+(1+
3
3
)x,
∴當(dāng)x=-
1+
3
2
=時(shí),S有最大值,此時(shí)最大值S=
-(1+
3
3
)2
4×(-
3
3
)
=
1
2
+
3
3

1
2
+
3
3
>1,
∴S有最大值,最大值為(
1
2
+
3
3
)平方米.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用.要注意結(jié)合圖形,利用數(shù)形結(jié)合解答函數(shù)問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

幾何問(wèn)題:
如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),若線段MN=5cm,求線段AB的長(zhǎng).
方法遷移:
小明在解決問(wèn)題:“某七年級(jí)(1)班參加拔河比賽,其中參加比賽的女生是未參加比賽的女生人數(shù)的2倍,參加比賽的男生是全班男生人數(shù)的
2
3
,若參加比賽的男、女生共有30人,則該班共有學(xué)生多少人?”時(shí),突然聯(lián)想到上面的幾何問(wèn)題,請(qǐng)你將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型,并直接寫出答案.(建立幾何模型就是畫出相應(yīng)的線段示意圖,并分別注明相應(yīng)線段的實(shí)際意義)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,∠AOB是平角,OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線. 且∠AOC=40°,∠BOD=50°.求:
(1)∠COD的度數(shù);
(2)∠MON的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,如圖,OA,OB為⊙0的半徑,C,D分別為OA,OB的中點(diǎn).求證:
(l)∠A=∠B; 
(2)AE=BE.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

先化簡(jiǎn)再求值:
x2-4x+4
x2-4
÷
x-2
x2+2x
+3,其中x=-5.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

兩個(gè)小朋友玩跳棋游戲,游戲的規(guī)則是:先畫一根數(shù)軸,棋子落在數(shù)軸上K0點(diǎn),第一步從K0點(diǎn)向左跳1個(gè)單位到k1,第二步從k1向右跳2個(gè)單位到k2,第三步從k2向左跳3個(gè)單位到k3,第四步從k3向右跳4個(gè)單位到k4,…,如此跳20步,棋子落在數(shù)軸的k20點(diǎn),若k20表示的數(shù)是18,問(wèn)K0的值為多少?(畫數(shù)軸)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

解一元二次方程:2x2=4x-3+x2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

甲乙兩同學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)打字,甲打一篇3600字的文章與乙打一篇3000字文章所用的時(shí)間相同.已知甲每分鐘比乙每分鐘多打l0個(gè)字,問(wèn)甲、乙兩人每分鐘各打多少個(gè)字?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知△ABC與△ADE是成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,點(diǎn)A是對(duì)稱中心,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案