Question

如圖（1），AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，若直線CD與⊙O相切于點C，AD⊥CD，垂足為D．
（Ⅰ）求證：△ADC∽△ACB；
（Ⅱ）如果把直線CD向下平行移動，如圖（2），直線CD交⊙O于C，G兩點，若題目中的其他條件不變，且AG=4，BG=3，求

AD

AC

的值．

Answer 1

考點：切線的性質,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（I）連接OC，求出∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠B，根據相似三角形的判定推出即可；
（II）根據勾股定理求出AB，求出∠ACG+∠B=180°，求出∠DCA=∠B，求出∠ADC=∠AGB，證△ADC∽△AGB，得出比例式，代入求出即可．

解答：（I）證明：連接OC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是⊙O直徑，DC切⊙O于C，AD⊥DC，
∴∠ADC=∠DCO=∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠DCA=∠OCB=∠OBC，
∵∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠OBC，
∴△ADC∽△ACB．


（II）解：∵AB是⊙O直徑，
∴∠AGB=90°，
∵AG=4，BG=3，由勾股定理得：AB=

42+32

=5，
∵四邊形ACGB是⊙O的內接四邊形，
∴∠B+∠ACG=180°，
∵∠ACD+∠ACG=180°，
∴∠B=∠DCA，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠AGB，
∴△ADC∽△AGB，
∴

AD

AG

=

AC

AB

，
∴

AD

AC

=

AG

AB

=

4

5

．

點評：本題考查了圓內接四邊形，切線的性質，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，關鍵是推出△ADC∽△ACB或△ADC∽△AGB．