【題目】如圖,△ABC為等腰直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC,點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)B是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方,
(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b).過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D,在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中(不包含△ABC的一邊與坐標(biāo)軸重合的情況),猜想線段OD的長與a、b的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下如圖4,當(dāng)x軸平分∠BAC時(shí),BC交x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)作CF⊥x軸于點(diǎn)F.說明此時(shí)線段CF與AE的數(shù)量關(guān)系(用含a、b的式子表示).
【答案】(1)C(﹣1,4);(2)OD=a﹣b;(3)aAE+bCF=﹣a(a+b).
【解析】
(1)先確定出OA=3,OB=1,進(jìn)而判斷出△AOB≌△BDC,即可得出BD=3,CD=1,即可得出結(jié)論;
(2)分三種情況,同(1)的方法即可得出結(jié)論;
(3)先確定出OF=CD=﹣b,CF=OD=b﹣a,進(jìn)而得出AF=OA+OF=﹣a﹣b,在判斷出△AOB∽△CFE,即可得出EF=(b﹣a),進(jìn)而得出AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣(b﹣a),即可得出結(jié)論.
解:(1)如圖1,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),
∴OA=3,OB=1,
過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D,
∴∠BCD+∠CBD=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBD+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BCD,
在△AOB和△BDC中,,
∴△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=3,CD=OB=1,
∴OD=OB+BD=4,
∴C(﹣1,4);
(2)當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí),
如圖1,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=b,
由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=b,
∴OD=OB+BD=b+(﹣a)=b﹣a,
當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第一象限時(shí),如圖2,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=﹣b,
由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=﹣b,
∴OD=BD﹣OB=(﹣a)﹣(﹣b)=b﹣a,
當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸,點(diǎn)C在第四象限時(shí),如圖3,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=﹣b,
由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=﹣b,
∴OD=OB﹣BD=﹣b﹣(﹣a)=a﹣b;
(3)如圖4,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),
∴OA=|a|=﹣a,OB=|b|=﹣b,由(1)知,△AOB≌△BDC,
∴BD=OA=﹣a,CD=OB=﹣b,
∴OD=BD﹣OB=(﹣a)﹣(﹣b)=b﹣a,
∵CF⊥OA于F,
∴四邊形ODCF是矩形,
∴OF=CD=﹣b,CF=OD=b﹣a,
∴AF=OA+OF=﹣a﹣b,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
∵AF平分∠BAC,
∴∠OAC=∠OAB=22.5°,
∴∠ECF=∠ACF﹣∠ACB=90°﹣∠OAC﹣∠ACB=22.5°=∠OAB,
∵∠AOB=∠CFE,
∴△AOB∽△CFE,
∴,
∴,
∴EF=(b﹣a),
∴AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣(b﹣a),
∵CF=b﹣a,
∴AE=﹣a﹣b﹣CF,
∴aAE+bCF=﹣a(a+b).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給下列證明過程填寫理由.
如圖,CD⊥AB于D,點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn),EF⊥AB于E,∠1=∠2,求證:∠ACB=∠3.
請(qǐng)閱讀下面解答過程,并補(bǔ)全所有內(nèi)容.
解:∵CD⊥AB,EF⊥AB(已知)
∴∠BEF=∠BDC=90°( )
∴EF∥DC( )
∴∠2=________( )
又∵∠2=∠1(已知)
∴∠1=_______(等量代換)
∴DG∥BC( )
∴∠3=________( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.
(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個(gè)問題:
①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C,∠A=40°,則∠ABX+∠ACX= °;
②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);
③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),若S△PAB=S1,S△PBC=S2,S△PCD=S3,S△PAD=S4則S1、S2、S3、S4的關(guān)系為S1=S2=S3=S4.請(qǐng)你說明理由;
(2)變式1:如圖2,點(diǎn)P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PB、PC、PD.若S△PAB=S1,S△PBC=S2,S△PCD=S3,S△PAD=S4,寫出S1、S2、S3、S4的關(guān)系式;
(3)變式2:如圖3,點(diǎn)P是四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)若S△PAB=S1,S△PBC=S2,S△PCD=S3,S△PAD=S4,寫出S1、S2、S3、S4的關(guān)系式.請(qǐng)你說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,BC=6cm,射線AG∥BC,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).如果點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)當(dāng)t=______s時(shí),以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年10月份某商場用19600元同時(shí)購進(jìn)A、B兩種新型節(jié)能日光燈共440盞,A型日光燈每盞進(jìn)價(jià)為40元,售價(jià)為60元,B型日光燈每盞進(jìn)價(jià)為50元,售價(jià)為80元.
(1)求10月份兩種新型節(jié)能日光燈各購進(jìn)多少盞?
(2)將10月份購買的日光燈從生產(chǎn)基地運(yùn)往商場的過程中,A型日光燈出現(xiàn)的損壞,B型日光燈完好無損,商場決定對(duì)A、B兩種日光燈的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整,使這批日光燈全部售完后,商場可獲得10664元的利潤型日光燈在原售價(jià)基礎(chǔ)上提高,問A型日光燈調(diào)整后的售價(jià)為多少元?
(3)進(jìn)入11月份,B型日光燈的需求量增大,于是商場在籌備“雙十一”促銷活動(dòng)時(shí),決定去甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)基地只購進(jìn)一批B型日光燈,甲、乙生產(chǎn)基地給出了不同的優(yōu)惠措施:
甲生產(chǎn)基地:B型日光燈出廠價(jià)為每盞50元,折扣如表一所示
乙生產(chǎn)基地:B型日光燈出廠價(jià)為每盞47元,同時(shí)當(dāng)出廠總金額達(dá)一定數(shù)量后還可按表二返現(xiàn)金.
表一
甲生產(chǎn)基地 | |
一次性購買的數(shù)量 | 折扣數(shù) |
不超過150盞的部分 | 折 |
超過150盞的部分 | 9折 |
表二
乙生產(chǎn)基地 | |
出廠總金額 | 返現(xiàn)金 |
不超過5640元 | 0元 |
超過5640元,但不超過9353元 | 返現(xiàn)300元 |
超過9353元 | 先返現(xiàn)出廠總金額的后,再返現(xiàn)206元 |
已知該商場在甲生產(chǎn)基地購買B型日光燈共支付7350元,在乙生產(chǎn)基地購買B型日光燈共支付9006元,若將在兩個(gè)生產(chǎn)基地購買的B型日光燈的總量改由在乙生產(chǎn)基地一次性購買,則支付總金額比在甲、乙兩生產(chǎn)基地分別購買的支付金額之和可節(jié)約多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】體育課上,老師為了解初三女學(xué)生定點(diǎn)投籃的情況,隨機(jī)抽取8名女生進(jìn)行每人4次定點(diǎn)投籃的測試,進(jìn)球數(shù)的統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求女生進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù);
(2)投球4次,進(jìn)球3個(gè)以上(含3個(gè))為優(yōu)秀,全校有初三女生400人,從中任選一位女生,求選到的女生投籃成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別為40和28,則△EDF的面積為( 。
A. 12 B. 6 C. 7 D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,長方形ABCD沿著直線DE和EF折疊,使得AB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)E在同一條直線上。
(1)求∠DEF的度數(shù);
(2)如圖2,若再次沿著直線EM和EN折疊使得A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別落在DE和EF上,∠AEM=34°,求∠BEN的度數(shù)。
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