Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，∠C=30°，點D是AC邊上一動點（不與A、C重合），過點D分別作DE⊥AB交AB于點E，DF⊥BC交BC于點F，聯(lián)結EF，設AE=x，EF=y．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）以F為圓心FC為半徑的⊙F交直線AC于點G，當點G為AD中點時，求x的值；
（3）如圖2，聯(lián)結BD將△EBD沿直線BD翻折，點E落在點E′處，直線BE′與直線AC相交于點M，當△BDM為等腰三角形時，求∠ABD的度數．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據已知條件可證明四邊形EBFD為矩形，則ED∥BF，EB∥DF，即可得出∠ADE=∠C=30°，在Rt△AED中，由∠ADE=30°，AE=x，可表示出ED=

3

x，AD=2x，在Rt△BEF中，BE=5-x，BF=ED=

3

x，由勾股定理得y=

4x2-10x+25

（0＜x＜5）即可；
（2）在Rt△ABC中，由∠C=30°，AB=5，得出AC=10，BC=5

3

，從而得出FC=BC-BF=5

3

-

3

x，分三種方法：
方法1：連接EG，FG，可證明△AEG為等邊三角形，則∠AGE=60°，從而得出∠EGF=90°；在Rt△EGF中，由勾股定理得EF²=EG²+GF²，從而得出x的值；
方法2：連接FG，作FH⊥GC交GC于點H，則CG=2CH，在Rt△CHF中，由AC=AG+CG=x+15-3x=10，得出x的值；
方法3：連接FG并延長交BA延長線于點P，由DF∥PB，則

DF

AP

=

FG

GP

=

DG

GA

，即BP=AB+AP=10-x，在Rt△BFP中，根據勾股定理得PF²=PB²+BF²，求得x1=

5

2

，x₂=10（舍去）；
（3）由翻折可得∠ABD=∠DBE′，當△BDM是等腰三角形時，∠ABD的大小存在三種情況：
當點M落在AC邊上時，①當BD=BM時，∠BDM=∠BMD，求得∠ABD=20°，②當DB=DM時，∠DBM=∠DMB，求得∠ABD=40°；
當點M在CA延長線上時，③當BD=BM時，∠BDM=∠BMD，根據∠ADB+∠M=∠DBE′，得∠ADB=

1

2

∠ABD，求得∠ABD=80°．

解答：解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠DFB=∠ABC=90°，
∴四邊形EBFD為矩形，
∴ED∥BF，EB∥DF
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，AE=x
∴ED=

3

x，AD=2x，∠BAC=60°
在Rt△BEF中，BE=5-x，BF=ED=

3

x
∴EF=

BF2+BE2

∴y=

4x2-10x+25

（0＜x＜5），
（2）在Rt△ABC中，∠C=30°，AB=5
∴AC=10，BC=5

3

，
∴FC=BC-BF=5

3

-

3

x
方法1：
連接EG，FG，如圖2，
在Rt△AED中，G為AD中點
∴EG=AG=AE
∴△AEG為等邊三角形
∴∠AGE=60°，
∵FC=FG
∴∠FGC=∠C=30°
∴∠EGF=90°，
在Rt△EGF中，EF²=EG²+GF²
∴4x2-10x+25=x2+(5

3

-

3

x)2
∴x=

5

2

，
方法2：
連接FG，作FH⊥GC交GC于點H，如圖2，
∴CG=2CH，
在Rt△CHF中，HC=

3

2

FC=

15-3x

2

，
∴CG=15-3x，
∵AC=AG+CG=x+15-3x=10，
∴x=

5

2

，
方法3：
連接FG并延長交BA延長線于點P，如圖3，
∵DF∥PB，
∴

DF

AP

=

FG

GP

=

DG

GA

，
∴BP=AB+AP=10-x，
FP=2FG=10

3

-2

3

x
在Rt△BFP中，PF²=PB²+BF²，
∴2x²-25x+50=0，
∴x1=

5

2

，x₂=10（舍去）；
（3）由翻折可得∠ABD=∠DBE′，△BDM是等腰三角形時，∠ABD的大小存在三種情況：
當點M落在AC邊上時，
①當BD=BM時，∠BDM=∠BMD，
∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°，
∴60°+2∠ABD+

1800-∠ABD

2

=180°
∴∠ABD=20°，
②當DB=DM時，∠DBM=∠DMB
∵∠A+∠ABM+∠AMB=180°
∴3∠ABD+∠A=180°
∴∠ABD=40°，
當點M在CA延長線上時，
③當BD=BM時，∠BDM=∠BMD，
∵∠ADB+∠M=∠DBE′，
∴∠ADB=

1

2

∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ADB=180°，
∴60°+∠ABD+

1

2

∠ABD=180°，
∴∠ABD=80°．

點評：本題考查了相似圖形的綜合運用，還考查了等腰三角形的判定、矩形的判定以及勾股定理的應用，分類討論思想的運用，是一道綜合性較強的題目，難度較大．