【題目】已知邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,點(diǎn)E在射線BC上,且BE=2CE,連接AE交射線DC于點(diǎn)F,若ABE沿直線AE翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處.

(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上,求CF的長(zhǎng);

(2)求sinDAB1的值;

(3)如果題設(shè)中“BE=2CE”改為=x”,其它條件都不變,試寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積yx的關(guān)系式及自變量x的取值范圍(只要寫出結(jié)論,不需寫出解題過(guò)程).

【答案】(1);(2) , ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析:(1)利用平行線性質(zhì)以及線段比求出CF的值;

(2)本題要分兩種方法討論:①若點(diǎn)E在線段BC上;②若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上.需運(yùn)用勾股定理求出與之相聯(lián)的線段;

(3)本題分兩種情況討論:若點(diǎn)E在線段BC上,y=,自變量取值范圍為x>0;若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,y=,自變量取值范圍為x>1.

詳解:(1)ABDF,

,

BE=2CE,AB=3,

,

CF=;

(2)①若點(diǎn)E在線段BC上,如圖1,設(shè)直線AB1DC相交于點(diǎn)M.

由題意翻折得:∠1=2.

ABDF,

∴∠1=F,

∴∠2=F,

AM=MF.

設(shè)DM=x,則CM=3-x.

又∵CF=1.5,

AM=MF=-x,

RtADM中,AD2+DM2=AM2,

32+x2=(-x)2,

x=,

DM=,AM=,

sinDAB1=;

②若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,如圖2,設(shè)直線AB1CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N.

同理可得:AN=NF.

BE=2CE,

BC=CE=AD.

ADBE,

,

DF=FC=,

設(shè)DN=x,則AN=NF=x+

RtADN中,AD2+DN2=AN2,

32+x2=(x+2

x=

DN=,AN=,sinDAB1=;

(3)y=,自變量取值范圍為x>0;若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,y=自變量取值范圍為x>1.

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∴∠2=3

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