Question

如圖，拋物線y=ax²-4ax+5交x軸于A、B（A左B右）兩點，交y軸于點C，過C作CD∥x軸，交拋物線于D點，連接AD．

（1）求線段CD的長；
（2）若S_△ACD=4S_△AOC，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，P，Q為線段AD上兩點（P左Q右，P，Q不與A，D重合），PQ=

2

，分別過P，Q作y軸的平行線，分別交拋物線于M，N兩點，當(dāng)線段PQ在AD上移動時，是否存在這樣的位置，使四邊形PQNM的形狀為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出C點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D點的坐標(biāo)，即可求得CD的長．
（2）根據(jù)已知條件求得OA的長，進(jìn)而求得A點的坐標(biāo)，代入拋物線y=ax²-4ax+5即可求得a的值，從而求得解析式．
（3）先求得直線AB的解析式，根據(jù)已知條件，設(shè)出P、Q、M、N的坐標(biāo)，得出PM．NQ所表示的式子，根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可求得．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)x=0時，y=5，
∴C（O，5）
又∵CD∥x軸，
∴C、D兩點具有相同的縱坐標(biāo)5
當(dāng)y=5時，ax²-4ax+5=5
∴x₁=0，x₂=4
∴D（4，5）
∴線段CD的長為4；

（2）如圖1，S_△ACD=

1

2

CD•OC=10，
∵S_△ACD=4S_△AOC
∴S_△AOC=10×

1

4

=

5

2

∴OA=1
∴A（-1，O）
代入y=ax²-4ax+5，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5；

（3）如圖2，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
則 

0=-k+b 5=4k+b

∴

k=1 b=1

∴直線AB的解析式為y=x+1
∴∠DAB=45°，
又∵PQ=

2

∴設(shè)P（x，x+1），則有Q（x+1，x+2），M（x，-x²+4x+5），N（x+1，-x²+2x+8）
∴PM=-x²+3x+4，NQ=-x²+x+6，
當(dāng)四邊形PQNM為平行四邊形時，PM=NQ
∴-x²+3x+4=-x²+x+6，
∴x=1
∴P（1，2）
∴存在這樣的點P，當(dāng)P（1，2）時四邊形PQNM為平行四邊形．

點評：本題考查了線段的求法，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式以及平行四邊形的性質(zhì)等．