Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是

 

三角形；
（2）若拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如圖，△OAB是拋物線y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由．
（4）若拋物線y=-x²+4mx-8m+4與直線y=3交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，是否存在整數(shù)m的值使這條拋物線的“拋物線三角形”有一邊上的中線長恰好等于這邊的長？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線的頂點必在拋物線與x軸兩交點連線的垂直平分線上，因此這個“拋物線三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經(jīng)過原點，由于b＞0，那么其頂點在第一象限，而這個“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)相等，以此作為等量關(guān)系來列方程解出b的值．
（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b′表示出AE、OE的長，通過△OAB這個等邊三角形來列等量關(guān)系求出b′的值，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)，即可確定C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過O、C、D的拋物線的解析式．
（4）聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，通過所得方程先求出這個方程的兩個根，然后通過這兩個根都是整數(shù)確定m的整數(shù)值．

解答：解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線的頂點A必在O、B的垂直平分線上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．
故答案為：等腰．

（2）當(dāng)拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，
該拋物線的頂點（

b

2

，

b2

4

），滿足

b

2

=

b2

4

（b＞0）．
則b=2．

（3）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當(dāng)OA=OB時，平行四邊形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB為等邊三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足為E，
∴AE=OEtan∠AOB=

3

OE．
∴

b′2

4

=

3

×

b′

2

（b＞0）．
∴b′=2

3

．
∴A（

3

，3），B（2

3

，0）．
∴C（-

3

，-3），D（-2

3

，0）．
設(shè)過點O、C、D的拋物線為y=mx²+nx，則

12m-2 3 n=0 3m- 3 n=0

，
解得

m=1 n=2 3

，
故所求拋物線的表達(dá)式為y=x²+2

3

x．
（4）由-x²+4mx-8m+4=3，x=

4m± 16m2-4(8m-1)

2

=2m±

4m2-8m+1

，
當(dāng)x為整數(shù)時，須 4m²-8m+1為完全平方數(shù)，設(shè) 4m²-8m+1=n² （n是整數(shù)）整理得：
（2m-2）²-n²=3，即 （2m-2+n）（2m-2-n）=3
兩個整數(shù)的積為7，∴

2n-2+n=1 2m-2-n=3

或

2m-2+n=3 2m-2-n=1

或

2m-2+n=-1 2m-2+n=-3

或

2m-2+n=-3 2m-2+n=-1

解得：

m=2 n=-1

或

m=2 n=1

或

m=0 n=1

或

m=0 n=-1

，
綜上，得：m=2或m=0；
∴拋物線與直線y=3交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)時m=2或m=0．

點評：本二次函數(shù)綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，重在考查基礎(chǔ)知識的掌握情況，解題的思路并不復(fù)雜，但計算過程較為復(fù)雜，間接增大了題目的難度．