Question

模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．

求證：△BEC≌△CDA．
模型應(yīng)用：
（1）已知直線l₁：y=

4

3

x+4與y軸交與A點，將直線l₁繞著A點順時針旋轉(zhuǎn)45°至l₂，如圖2，求l₂的函數(shù)解析式．
（2）如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，設(shè)PC=m，已知點D在第一象限，且是直線y=2x-6上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰Rt△，請直接寫出點D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的應(yīng)用,等腰直角三角形,矩形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）過點B作BC⊥AB于點B，交l₂于點C，過C作CD⊥x軸于D，根據(jù)∠BAC=45°可知△ABC為等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質(zhì)得出C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l₂的函數(shù)解析式即可；
（3）當(dāng)點D為直角頂點，分點D在矩形AOCB的內(nèi)部與外部兩種情況；點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部，由此可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD與△CBE中，

∠D=∠E ∠ACD=∠EBC CA=CB

，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；

（2）解：過點B作BC⊥AB于點B，交l₂于點C，過C作CD⊥x軸于D，如圖1，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC為等腰Rt△，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直線l₁：y=

4

3

x+4，
∴A（0，4），B（-3，0），
∴BD=AO=4．CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C（-7，3），
設(shè)l₂的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

3=-7k+b 4=b

，
∴

k= 1 7 b=4

，
∴l(xiāng)₂的解析式：y=

1

7

x+4；

（3）當(dāng)點D位于直線y=2x-6上時，分兩種情況：
①點D為直角頂點，分兩種情況：
當(dāng)點D在矩形AOCB的內(nèi)部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，2x-6）；
則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
∴D（4，2）；
當(dāng)點D在矩形AOCB的外部時，設(shè)D（x，2x-6）；
則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF，
∴AE=DF，即：2x-12=8-x，x=

20

3

；
∴D（

20

3

，

22

3

）；
②點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部；
設(shè)點D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；
同（1）可得，△APB≌△BDF，
∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；
∴BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；
聯(lián)立兩個表示BF的式子可得：
2x-12=16-x，即x=

28

3

；
∴D（

28

3

，

38

3

）；
綜合上面六種情況可得：存在符合條件的等腰直角三角形；
且D點的坐標(biāo)為：（4，2），（

20

3

，

22

3

），（

28

3

，

38

3

）．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到點的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形以及全等三角形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用，需要考慮的情況較多，難度較大．