Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于G，AC的垂直平分線交BC于E，交AC于F，且BD=DE．
求證：∠BAC=120°．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)AD、AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得DA=DB，EA=EC，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，由三角形外角性質(zhì)得∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，則∠ADE=2∠B，∠AEC=2∠C，由AB=AC得到∠B=∠C，所以∠ADE=∠AED，則AE=AD，加上BD=DE，可判斷△ADE為等邊三角形，
所以∠ADE=60°，易得∠B=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BAC的度數(shù)．

解答：證明：連結(jié)AD、AE，如圖，

∵DG垂直平分線AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
∵EF垂直平分線AC，
∴EA=EC，
∴∠C=∠CAE，
而∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠ADE=2∠B，∠AEC=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD，
∵BD=DE，
∴AD=DE=AE，
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=180°-2×30°=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．