Question

如圖，△ABC中，點P是邊AC上的一個動點，過P作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當點P在邊AC上運動時，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說明理由；
（3）若AC邊上存在點P，使四邊形AECF是正方形，且

AP

BC

=

3

2

時，求∠A的大小．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)可證明PE=PC，PF=PC，從而得到PE=PF；
（2）假設(shè)四邊形BCFE是菱形，再證明與在同一平面內(nèi)過同一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；
（3）由正方形的對角線相等且互相垂直，可知AC⊥EF，AC=2AP．又EF∥BC，得出AC⊥BC，在直角△ABC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠A的大�。�

解答：（1）證明：∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；
（2）四邊形BCFE不可能是菱形，
證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△BFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
（3）解：若四邊形AECF是正方形，則AC⊥EF，AC=2AP．
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAC=30°．

點評：此題綜合考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及菱形的判定，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值等知識點，涉及面較廣，在解答此類題目時要注意角的運用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀．