Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝1，對角線AC，BD相交于點O，∠COD＝60°，點E是線段CD上一點，連接OE，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OF，連接DF．

（1）求證：DF＝CE；

（2）連接EF交OD于點P，求DP的最大值；

（3）如圖2，點E在射線CD上運動，連接AF，在點E的運動過程中，若AF＝AB，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）OF＝1或．

【解析】

（1）證明△FOD≌△EOC（SAS），則可得出結(jié)論；

（2）證明△FDP∽△ODE，可得出，設(shè)DF＝CE＝x，則DE＝1﹣x，則 ，得出DP＝﹣x2+x＝，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

（3）分情況討論：①如圖1，過點F作FM⊥AD于點M，證明△AOF是等邊三角形，得出OF＝1；②過點A作AN⊥DF于點N，則∠FDA＝30°，證明△OAF≌△AOD（SAS），得出OF＝AD＝．

（1）證明：由題意知∠FOE＝∠DOC＝60°，

∴∠FOE﹣∠DOE＝∠DOC﹣∠DOE，即∠FOD＝∠EOC，

在矩形ABCD中，AC＝BD＝2OC＝2OD，

∴OC＝OD，

又∵OF＝OE，

∴△FOD≌△EOC（SAS），

∴DF＝CE；

（2）解：在△ODC中，OD＝OC，∠COD＝60°，

∴△OCD是等邊三角形，∠OCD＝60°，

又△FOD≌△EOC，

∴∠FDO＝∠ECO＝60°，

在△OEF中，OE＝OF，∠EOF＝60°，

∴△OEF是等邊三角形，∠OEF＝60°，

∴180°﹣∠FDP﹣∠FPD＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE，即∠DFP＝∠DOE，

又∠FDP＝∠ODE＝60°，

∴△FDP∽△ODE，

∴，

設(shè)DF＝CE＝x，則DE＝1﹣x，

∴，

∴DP＝﹣x2+x＝，

∴DP的最大值為；

（3）解：①在矩形ABCD中，AB＝1，∠COD＝60°，

∴AD＝，∠OAD＝∠ODA＝30°，

∴∠FDA＝∠FDO﹣∠ODA＝30°，

如圖1，過點F作FM⊥AD于點M，

設(shè)FM＝m，則MD＝m，AM＝-m，

又∵AF＝AB＝1，

∴在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，

∴，

∴m1＝，m2＝1（舍去），

∴sin∠FAM＝，

∴∠FAM＝30°，

∴∠FAO＝60°，且AF＝AB＝AO，

∴△AOF是等邊三角形，

∴OF＝1；

②如圖2，過點A作AN⊥DF于點N，則∠FDA＝30°，

∴∠DAN＝60°，AN＝ ，

∴cos∠FAN＝，

∴∠FAN＝30°，

∴∠FAO＝120°，

又∠AOD＝120°，

∴∠FAO＝∠AOD，

又AF＝AO＝OD，

∴△OAF≌△AOD（SAS），

∴OF＝AD＝．

綜合以上可得，OF＝1或．