【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,P是BC邊上一動點(點P不與B、C重合),將△ABP沿直線AP翻折,點B落在點E處;在CD上有一點M,使得將△CMP沿直線MP翻折后,點C落在直線PE上的點F處,直線PE交CD于點N,連接MA、NA,則以下結(jié)論:①△CMP∽△BPA;②四邊形AMCB的面積最大值為2.5;③△ADN≌△AEN;④線段AM的最小值為2.5;⑤當(dāng)P為BC中點時,AE為線段NP的中垂線.正確的有_____(只填序號)
【答案】①②③④
【解析】分析:①正確.只要證明∠CPM=∠PAB,∠C=∠B=90°,即可;
②正確,設(shè)PB=x,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可;
③正確.根據(jù)HL即可證明;
④正確,作MG⊥AB于G,因為AM=,所以AG最小時AM最小,構(gòu)建二次函數(shù),求得AG的最小值為,AM的最小值為.
⑤錯誤,設(shè)ND=NE=y,在Rt△PCN中,利用勾股定理求出y即可解決問題.
詳解:①由翻折可知,∠APE=∠APB,∠MPC=∠MPN,
∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°,
∴∠CPM+∠APB=90°,∵∠APB+∠PAB=90°,
∴∠CPM=∠PAB,∵∠C=∠B=90°,
∴△CMP∽△BPA.故①正確;
②設(shè)PB=x,則CP=2-x,
∵△CMP∽△BPA,
∴,,
∴CM=x(2-x),
∴S四邊形AMCB= [2+x(2-x)]×2=-x2+x+2=-(x-1)2+2.5,
∴x=1時,四邊形AMCB面積最大值為2.5,故②正確;
③在Rt△ADN和Rt△AEN中,
,
∴△ADN≌△AEN.故③正確;
④作MG⊥AB于G,
∵AM=,
∴AG最小時AM最小,
∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x(2-x)=(x-1)2+,
∴x=1時,AG最小值=,
∴AM的最小值=,故④正確.
⑤當(dāng)PB=PC=PE=1時,
由折疊知,ND=NE,
設(shè)ND=NE=y,
在Rt△PCN中,(y+1)2=(2-y)2+12解得y=
∴NE=,
∴NE≠EP,故⑤錯誤,
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【題目】如圖,已知△ABC的三個頂點在格點上.
(1)作出與△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1;
(2)求出A1,B1,C1三點坐標(biāo);
(3)求△ABC的面積.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,F是CD上一點,E是BF上一點,連接AE、AC、DE.若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC,則下列結(jié)論中:①△ABE≌△ACD:②BE=EF;③∠BFD=110°;④AC垂直平分DE,正確的個數(shù)有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時,鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個游戲抽象為數(shù)學(xué)問題,如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為25 cm,設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為M,鐵環(huán)與地面接觸點為A,∠MOA=α,且sinα=.
(1)求點M離地面AC的高度BM;
(2)設(shè)人站立點C與點A的水平距離AC=55 cm,求鐵環(huán)鉤MF的長度.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD分別與AE、AF相交于G、H.
(1)在圖中找出與△ABE相似的三角形,并說明理由;
(2)若AG=AH,求證:四邊形ABCD是菱形.
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【題目】一玩具工廠用于生產(chǎn)的全部勞力為450個工時,原料為400個單位.生產(chǎn)一個小熊要使用15個工時、20個單位的原料,售價為80元;生產(chǎn)一個小貓要使用10個工時、5個單位的原料,售價為45元.在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊、小貓的個數(shù),可以使小熊和小貓的總售價盡可能高.請用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識分析,總售價是否可能達(dá)到2200元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在圖中的點上標(biāo)出相應(yīng)字母A、B、C,并求出△ABC的面積;
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1;
(3)寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo).
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【題目】已知:如圖,在□ABCD中,點G為對角線AC的中點,過點G的直線EF分別交邊AB、CD于點E、F,過點G的直線MN分別交邊AD、BC于點M、N,且∠AGE=∠CGN.
(1)求證:四邊形ENFM為平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形ENFM為矩形時,求證:BE=BN.
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【題目】如圖,小明從點A出發(fā),前進(jìn)10m后向右轉(zhuǎn)20°,再前進(jìn)10m后又向右轉(zhuǎn)20°,這樣一直下去,直到他第一次回到出發(fā)點A為止,他所走的路徑構(gòu)成了一個多邊形.
(1)小明一共走了多少米?
(2)這個多邊形的內(nèi)角和是多少度?
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