Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象經(jīng)過點A和點B．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求出該拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)；
（3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖象上（其中m＞0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離；
（4）在（3）的條件下，該拋物線上是否存在點M，使得△MPQ的面積為64？若存在請求出M的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圖象可得出A、B兩點的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式，用配方法或公式法即可求出對稱軸和頂點坐標(biāo)．
（3）將P點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出m的值，P，Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么兩點的縱坐標(biāo)相等，因此P點到x軸的距離同Q到x軸的距離相等，均為m的絕對值．
（4）設(shè)M的坐標(biāo)為（n，n²-4n-6），根據(jù)題干可知，M點可以在PQ上方或者PQ下方，根據(jù)面積公式S_△MPQ=

1

2

•PQ•h=64，可求得M點坐標(biāo)．

解答：解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9，
分別代入y=ax²-4x+c
得

-1=a×(-1)2-4×(-1)+c -9=a×32-4×3+c

，
解得

a=1 c=-6

，
故二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-4x-6．

（2）對稱軸為x=2；
頂點坐標(biāo)為（2，-10）．

（3）將（m，m）代入y=x²-4x-6，得m=m²-4m-6，
解得m₁=-1，m₂=6．
∵m＞0，
∴m₁=-1不合題意，舍去．
∴m=6，
∵點P與點Q關(guān)于對稱軸x=2對稱，
∴點Q到x軸的距離為6．

（4）設(shè)M的坐標(biāo)為（n，n²-4n-6），
由（3）可知，P點坐標(biāo)為（6，6），Q點坐標(biāo)為（-2，6），
故PQ=8，
∵S_△MPQ=64，即S_△MPQ=

1

2

•PQ•h=64，
∴h=16，
其中M點可以在PQ上方或者PQ下方
故h為M點與P點的縱坐標(biāo)之差的絕對值，
即h=|n²-4n-6-6|，
故|n²-4n-12|=16
解得：n=2或2（1-2

2

）或2（1+2

2

）
故存在M點坐標(biāo)（2，-10）、（2-4

2

，22）、（2+4

2

，22），可以使得△MPQ的面積為64．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，以及二次函數(shù)的對稱軸與頂點坐標(biāo)的求解，難度不大，先求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．