Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于

1

2

MN的長為半徑畫弧，再畫弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；④S_△ABD=2S_△ADC．其中結(jié)論正確的序號為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：作圖—基本作圖,角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；
③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來求兩個(gè)三角形的面積之比．

解答：解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；

②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．
故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∴BC=CD+BD=

1

2

AD+AD=

1

2

AD，S_△DAC=

1

2

AC•CD=

1

4

AC•AD．
∴S_△ABD=

1

2

AC•BD=

1

2

AC•AD=

1

2

AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABD=

1

4

AC•AD：

1

2

AC•AD=1：2．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．解題時(shí)，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．