Question

如圖△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，E為垂足，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)．以BF為直徑的圓與AE相切于M點(diǎn)，交BC于G點(diǎn)．

（1）求證：BM平分∠ABC；

（2）當(dāng)BC=4，cosC=時(shí)，

①求⊙O的半徑；

②求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π與根號(hào)）

 

 

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）；．

【解析】

試題分析：（1）連OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥AE，而AE⊥BC，則OM∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠OMB=∠MBC，而∠OBM=∠OMB，所以∠OBM=∠MBE；

（2）①設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=2，由cos∠C=得到∠C=60°，則可判斷△ABC為等邊三角形，所以AB=AC=BC=4，則∠OAM=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AO=2R，則2R+R=4，解得R=；

②過(guò)O作OH⊥BM，H為垂足，根據(jù)垂徑定理得BH=MH，易得∠AOM=60°，∠ABH=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得OH=OB=，BH=OH=，所以BM=，然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式和S陰=S扇形FOM+S△OBM進(jìn)行計(jì)算．

（1）證明：連OM，如圖,

∵⊙O與AE相切于M，

∴OM⊥AE，

∵AE⊥BC，

∴OM∥BC，

∴∠OMB=∠MBC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠OBM=∠MBE，

∴BM平分∠ABC；

（2）【解析】
①設(shè)⊙O的半徑為R，

∵AB=AC，BC=4，AE⊥BC，

∴BE=CE=2，

在Rt△ACE中，cos∠C=，

∴∠C=60°

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC=BC=4，

∴∠OAM=30°，

∴AO=2R，

而AB=OA+BO，

∴2R+R=4，

∴R=，

即⊙O的半徑為；

②過(guò)O作OH⊥BM，H為垂足，如圖，

∵OH⊥BM，

∴BH=MH，

∵OM∥BE，

∴∠AOM=60°，

∴∠ABH=30°，

∴OH=OB=，BH=OH=，

∴BM=，

∴S△OBM=OH•BM=，

∴S扇形FOM=

∴S陰=．

考點(diǎn)：1．切線的性質(zhì)；2．扇形面積的計(jì)算．