Question

【題目】【問題探究】

（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．

【深入探究】

（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45，求BD的長(zhǎng)．

（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE．理由參見解析；（2）cm；（3）（）cm．

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；

（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；

（3）在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，即可求解．

試題解析：解：（1）BD=CE．

理由是：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE；

（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=3，∴BE==（不化簡(jiǎn)不必扣分），∠AEC=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC===，∴BD=CE=；

（3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=3，BE==，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=1，∴BD=CE==（cm）．