Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣2，0），B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使AH+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，是的以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）H（1，）；

（3）不存在，理由見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式列方程組解決問(wèn)題．

（2）如圖1，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，與拋物線對(duì)稱軸聯(lián)立求出H坐標(biāo)即可；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)△ACB∽△ABM時(shí)；（ii）當(dāng)△ACB∽△MBA時(shí)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，確定出m的值即可．

試題解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式

得解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2．

（2）如圖1，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，

由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B與C坐標(biāo)代入得：

，解得：，∴直線BC解析式為y=﹣x+2，

令x=1，得到y(tǒng)=，即H（1，）；

（3）不存在．

分兩種情況考慮：（i）不妨設(shè)△ACB∽△ABM時(shí)，如圖2中，

則有∠CAB=∠MAB=45°，∴直線AM為y=﹣x﹣2，由解得或，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（8，﹣10），此時(shí)AM=10，∵=， ==，∴，

∴△ABC與△AMB不相似．

（ii）不妨設(shè)△ACB∽△MBA時(shí)，如圖3中，

則∠ABC=∠MAB，∴BC∥AM，∵直線BC解析式為y=﹣x+2，∴直線AM解析式為y=﹣x﹣1，

由解得或，∴AM=4，∵==， ，∴

，△ACB與△MBA不相似．

綜上所述，在第四象限內(nèi)，拋物線上不存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．