Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x²-2mx（m＞1）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過點(diǎn)P（-1，m）作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)B，BC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C．

（1）當(dāng)m=2時(shí)．
①求線段BC的長及直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②若動(dòng)點(diǎn)Q在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q在何處時(shí)，△QAB的面積最大？
③若點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上，且PF=PC，請直接寫出符合條件的點(diǎn)F在坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連接CA、CP，問m為何值時(shí)，CA⊥CP？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①將m=2代入y=-x²-2mx，得出y=-x²-4x，求出A（-4，0），B（-1，3），由B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=-x²-4x的對稱軸x=-2對稱，得出BC=2，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②過點(diǎn)Q作QE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，設(shè)Q（a，-a²-4a），則E（a，a+4），QE=（-a²-4a）-（a+4）=-a²-5a-4，由S_△QAB=

1

2

QE•AD求出S_△QAB=-

3

2

（a+

5

2

）²+

27

8

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
③分兩種情況進(jìn)行討論：若點(diǎn)F在x軸上，設(shè)F（x，0）．根據(jù)PF=PC列出方程，解方程得到F₁（-2，0），F(xiàn)₂（0，0）；若點(diǎn)F在y軸上，設(shè)F（0，y），根據(jù)PF=PC列出方程，解方程得到F₃（0，4），F(xiàn)₄（0，0）與F₂（0，0）重合；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．先求出PB=m-1，BC=2（m-1），CH=2m-1，AH=1，再證明△ACH∽△PCB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

AH

PB

=

CH

BC

，即

1

m-1

=

2m-1

2(m-1)

，解方程可求出m的值．

解答：解：（1）①當(dāng)m=2時(shí)，y=-x²-4x，
令y=0，得-x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=-4，
則A（-4，0）．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=3，
則B（-1，3）．
∵拋物線y=-x²-4x的對稱軸為直線x=-2，
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=-2對稱，
∴C（-3，3），BC=2．     
設(shè)直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b．
∵A（-4，0）、B（-1，3）在直線AB上，
∴

0=-4k+b   3=-k+b .

，
解得

k=1   b=4 .

∴直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4；
②過點(diǎn)Q作QE∥y軸，交AB于點(diǎn)E（如圖1）．
由題意可設(shè)Q（a，-a²-4a），則E（a，a+4），
∴QE=（-a²-4a）-（a+4）=-a²-5a-4．
∴S_△QAB=

1

2

QE•AD
=

1

2

×（-a²-5a-4）×3
=-

3

2

（a+

5

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)a=-

5

2

時(shí)，△QAB的面積最大，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（-

5

2

，

15

4

）；
③分兩種情況：
若點(diǎn)F在x軸上，設(shè)F（x，0）．
∵PF=PC，P（-1，2），C（-3，3），
∴（x+1）²+（2-0）²=（-3+1）²+（3-2）²，
整理，得x²+2x=0，
解得x₁=-2，x₂=0，
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（0，0）；
若點(diǎn)F在y軸上，設(shè)F（0，y）．
∵PF=PC，P（-1，2），C（-3，3），
∴（0+1）²+（y-2）²=（-3+1）²+（3-2）²，
整理，得y²-4y=0，
解得y₁=4，y₂=0，
∴F₃（0，4），F(xiàn)₄（0，0）與F₂（0，0）重合；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)F坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（0，0），F(xiàn)₃（0，4）；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖2）．
∵P（-1，m），B（-1，2m-1），
∴PB=m-1．
∵拋物線y=-x²-2mx的對稱軸為直線x=-m，其中m＞1，
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=-m對稱，
∴BC=2（m-1），
∴C（1-2m，2m-1），H（1-2m，0），
∴CH=2m-1，
∵A（-2m，0），
∴AH=1．
由已知，得∠ACP=∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠PCB．
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB，
∴

AH

PB

=

CH

BC

，即 

1

m-1

=

2m-1

2(m-1)

，
∴m=

3

2

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．