Question

【題目】如圖，在四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，平分，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 ；（2）4

【解析】

（1）通過(guò)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，從而有，則，通過(guò)一組對(duì)邊平行且相等可證明四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?/span>，所以平行四邊形是菱形；

（2）通過(guò)菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)度，然后根據(jù)已知得出，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．

解：（1）∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴．

又∵，

∴四邊形是平行四邊形．

又∵，

∴□ABCD是菱形．

（2）∵四邊形是菱形，對(duì)角線、交于點(diǎn)．

∴，，．

∵，

∴．

在中，，，

∴．

∵，

∴．

在中，，為斜邊中點(diǎn)，

∴．