【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,點E在邊AD上(不與A,D重合),點F在邊CD上,且∠EBF=45°,若△ABE的外接圓⊙O與CD邊相切.
(1)求⊙O的半徑長;
(2)求△BEF的面積.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)將△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP,過點B作BQ⊥EF,設(shè)⊙O與CD相切于點M,連接OM,延長MO交AB于點N,由已知得出△BPE≌△BFE,進(jìn)而得出△AEB≌△QEB,利用中位線出AE的長,由勾股定理求出BE,即可得出半徑;
(2)由C△EFD=4,利用勾股定理得出DF的長,即可求出△BEF的面積.
解:(1)將△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP,過點B作BQ⊥EF,設(shè)⊙O與CD相切于點M,連接OM,延長MO交AB于點N,如圖所示:
在△BPE與△BFE中, ,
∴△BPE≌△BFE(SAS),
∴∠AEB=∠BEQ,PE=EF,
在△AEB和△QEB中, ,
∴△AEB≌△QEB(AAS),
∴BQ=AB=2,
由PE=EF可知,
C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4,
設(shè)AE=a,則DE=2﹣a,BE= ,
∵O為BE中點,且MN∥AD,
∴ON=AE= ,
∴OM=2﹣,
又BE=2OM,
∴=4﹣a,解得a= ,
∴ED=,BE= = ,
∴⊙O的半徑長=BE= ;
(2)∵C△EFD=4,設(shè)DF=b,
∴EF=4﹣b﹣=﹣b,
在Rt△EDF中,()2+b2=(﹣b)2,
解得b= ,
∴EF=﹣= ,
∴S△BEF=××2=.
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【題目】(問題情境)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2=AD·AB,這個結(jié)論我們稱之為射影定理,試證明這個定理;
(結(jié)論運用)如圖,正方形ABCD的邊長為6,點O是對角線AC、BD的交點,點E在CD上,過點C作CF⊥BE,垂足為F,連接OF.
(1)試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△ABC∽△BED;
(2)若DE=2CE,求OF的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,,點、在軸上且關(guān)于軸對稱.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)動點以每秒2個單位長度的速度從點出發(fā)沿軸正方向向終點運動,設(shè)運動時間為秒,點到直線的距離的長為,求與的關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點到的距離為時,連接,作的平分線分別交、于點、,求的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為圓心的圓過點A(5,0),直線y=kx-2k+3(k≠0)與⊙O交于B、C兩點,則弦BC的長的最小值為____.
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【題目】如圖,已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c 的圖象與x軸交于A,B兩點,其中A點坐標(biāo)為(-3,0),與 y 軸交于點 C(0,-3)在拋物線上.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)拋物線的對稱軸上有一動點 P,求出當(dāng) PB+PC 最小時點 P的坐標(biāo);
(3)若拋物線上有一動點Q,使△ABQ的面積為6,求Q點坐標(biāo).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動,動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動,如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā),那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t(s)如何變化?寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.
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【題目】如圖,AN是⊙M的直徑,NB∥x軸,AB交⊙M于點C.
(1)若點A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求點B的坐標(biāo);
(2)若D為線段NB的中點,求證:直線CD是⊙M的切線.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A(2,4)和點B(6,0).
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出它的開口方向、頂點坐標(biāo);
(3)點(x1,y1),(x2,y2)均在此拋物線上,若x1>x2>4,則y1 ________ y2(填“>”“=”或“<”).
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