Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

4

3

x²+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）將A（1，0），B（0，4）代入y=-

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3

x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，-

4

3

m²-

8

3

m+4），G（m，4），則PG=-

4

3

m²-

8

3

m+4-4=-

4

3

m²-

8

3

m，點P在直線BC上方時，故需要求出m的取值范圍；
（3）先由拋物線的解析式求出D（-3，0），則當點P在直線BC上方時，-3＜m＜0．再運用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=

4

3

x+4，于是得出H（m，

4

3

m+4）．當以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似時，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分兩種情況進行討論：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例關系式，進而求出m的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

4

3

x²+bx+c與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），
∴

- 4 3 +b+c=0 c=4

，解得

b=- 8 3 c=4

，
∴拋物線的解析式為y=-

4

3

x²-

8

3

x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，
∴P（m，-

4

3

m²-

8

3

m+4），G（m，4），
∴PG=-

4

3

m²-

8

3

m+4-4=-

4

3

m²-

8

3

m；
點P在直線BC上方時，故需要求出拋物線與直線BC的交點，
令4=-

4

3

m²-

8

3

m+4，解得m=-2或0，
即m的取值范圍：-2＜m＜0，
PG的長度為：-

4

3

m²-

8

3

m（-2＜m＜0）；

（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．
∵y=-

4

3

x²-

8

3

x+4，
∴當y=0時，-

4

3

x²-

8

3

x+4=0，
解得x=1或-3，
∴D（-3，0）．
當點P在直線BC上方時，-2＜m＜0．
設直線BD的解析式為y=kx+4，
將D（-3，0）代入，得-3k+4=0，
解得k=

4

3

，
∴直線BD的解析式為y=

4

3

x+4，
∴H（m，

4

3

m+4）．
分兩種情況：
①如果△BGP∽△DEH，那么

BG

DE

=

GP

EH

，
即

-m

m+3

=

- 4 3 m2- 8 3 m

4 3 m+4

，
解得m=-3或-1，
由-2＜m＜0，故m=-1；
②如果△PGB∽△DEH，那么

PG

DE

=

BG

HE

，
即

- 4 3 m2- 8 3 m

m+3

=

-m

4 3 m+4

，
由-2＜m＜0，解得m=-

23

16

．
綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為-1或-

23

16

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，線段的表示，相似三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度較大．運用數(shù)形結合、方程思想及分類討論是解題的關鍵．