Question

已知：如圖①，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，點D在BC的延長線上，聯結AD，以AD為一邊作△ADE，使點E與點B位于直線AD的兩側，且AD=AE，∠DAE=∠BAC．
（1）如果AE∥BC，請判斷四邊形ABDE的形狀并證明；
（2）如圖②，設M是BC中點，N是DE中點，聯結AM、AN、MN，求證：△ABD∽△AMN；
（3）設BD=x，在（2）的前提下，以BC為直徑的⊙M與以DE為直徑的⊙N存在著哪些位置關系？并求出相應的x的取值范圍（直接寫出結論）．

Answer 1

考點：相似形綜合題,等腰三角形的性質,勾股定理,平行四邊形的判定,圓與圓的位置關系,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題

分析：（1）已知AE∥BC，則有∠EAB+∠B=180°，要證四邊形ABDE是平行四邊形，只需證AB∥ED，只需證到∠EAB+∠E=180°，只需得到∠B=∠E，只需證到△ABC∽△ADE即可．
（2）易證∠MAN=∠BAD，根據相似三角形對應中線的比等于相似比可得

AM

AN

=

AB

AD

，就可得到△AMN∽△ABD．
（3）利用相似三角形的性質可以用x的代數式表示出MN及r_N的長，只需求出兩圓外切時的x的值，就可解決問題．

解答：（1）答：四邊形ABDE是平行四邊形．
證明：如圖1，
∵AB=AC，AD=AE，
∴

AB

AD

=

AC

AE

．
∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
∴∠E=∠ACB．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B．
∴∠E=∠B．
∵AE∥BC，
∴∠EAB+∠B=180°．
∴∠EAB+∠E=∠EAB+∠B=180°．
∴AB∥ED．
∴四邊形ABDE是平行四邊形．

（2）證明：如圖2，
∵AB=AC，M是BC中點，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=

1

2

∠BAC．
同理：AN⊥DE，∠DAN=∠EAN=

1

2

∠DAE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN．
∵∠MAN=∠MAC+∠CAD+∠DAN，
∠BAD=∠BAM+∠MAC+∠CAD，
∴∠MAN=∠BAD．
∵△ABC∽△ADE（已證），M是BC中點，N是DE中點，
∴

AM

AN

=

AB

AD

．
∴△AMN∽△ABD．

（3）解：∵AM⊥BC，
∴AM²=AB²-BM²=AD²-MD²．
∵AB=6，BM=2，MD=x-2，
∴AM²=6²-2²=AD²-（x-2）²．
∴AM=4

2

，AD=

x2-4x+36

．
∵△ABC∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BC

DE

．
∴AB•DE=AD•BC．
∴6×DE=

x2-4x+36

×4．
∴DE=

2

3

x2-4x+36

．
∴r_N=

1

3

x2-4x+36

．
∵△AMN∽△ABD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

．
∴AB•MN=AM•BD．
∴6MN=4

2

x．
∴MN=

2 2

3

x．
當⊙M與⊙N外切時，MN=r_M+r_N．
∴

2 2

3

x=2+

1

3

x2-4x+36

．
∴

2 2

3

x-2=

1

3

x2-4x+36

．
∴2

2

x-6=

x2-4x+36

．
∴8x²-24

2

x+36=x²-4x+36．
∴7x²=（24

2

-4）x．
∵點D在BC的延長線上，
∴x≥4．
∴x=

24 2 -4

7

．
∴當x=

24 2 -4

7

時，兩圓外切；當4≤x＜

24 2 -4

7

時，兩圓相交；當x＞

24 2 -4

7

時，兩圓外離．

點評：本題重點考查了相似三角形的判定與性質，另外還考查了平行四邊形的判定、兩圓的位置關系、等腰三角形的性質、勾股定理、平行線的判定與性質等知識，綜合性比較強，而考慮兩圓外切這個臨界位置是解決第（3）小題的關鍵．