【題目】
如圖,△ABC中,AC=BC=10,cosC=,點P是AC邊上一動點(不與點A、C重合),以PA長為半徑的⊙P與邊AB的另一個交點為D,過點D作DE⊥CB于點E.
(1)當⊙P與邊BC相切時,求⊙P的半徑.
(2)連接BP交DE于點F,設(shè)AP的長為x,PF的長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并直接寫出x的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,當以PE長為直徑的⊙Q與⊙P相交于AC邊上的點G時,求相交所得的公共弦的長.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)設(shè)⊙P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP⊥BC,cosC=,則sinC=,sinC===,即可求解;
(2)首先證明PD∥BE,則,即:,即可求解;
(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形,則AG=EP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=4,即可求解.
(1)設(shè)⊙P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,
連接HP,則HP⊥BC,cosC=,則sinC=,
sinC===,解得:R=;
(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=,
設(shè)AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,過點B作BH⊥AC,
則BH=ACsinC=8,
同理可得:CH=6,HA=4,AB=4,則:tan∠CAB=2,
BP==,
DA=x,則BD=4﹣x,
如下圖所示,PA=PD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,
tanβ=2,則cosβ=,sinβ=,
EB=BDcosβ=(4﹣x)×=4﹣x,
∴PD∥BE,
∴,即:,
整理得:y=;
(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示,
兩個圓交于點G,則PG=PQ,即兩個圓的半徑相等,則兩圓另外一個交點為D,
GD為相交所得的公共弦,
∵點Q是弧GD的中點,
∴DG⊥EP,
∵AG是圓P的直徑,
∴∠GDA=90°,
∴EP∥BD,
由(2)知,PD∥BC,∴四邊形PDBE為平行四邊形,
∴AG=EP=BD,
∴AB=DB+AD=AG+AD=4,
設(shè)圓的半徑為r,在△ADG中,
AD=2rcosβ=,DG=,AG=2r,
+2r=4,解得:2r=,
則:DG==50﹣10,
相交所得的公共弦的長為50﹣10.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是一個單位長度,在平面直角坐標系內(nèi),△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,4),B(1,1),C(3,1).
(1)畫出△ABC左平移4個單位得到的△A1B1C1,且A1的坐標為 ;
(2)畫出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的條件下,求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為推動“時刻聽黨話 永遠跟黨走”校園主題教育活動,計劃開展四項活動:A:黨史演講比賽,B:黨史手抄報比賽,C:黨史知識競賽,D:紅色歌詠比賽.校團委對學(xué)生最喜歡的一項活動進行調(diào)查,隨機抽取了部分學(xué)生,并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1,圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖1的統(tǒng)計圖補充完整;
(3)已知在被調(diào)查的最喜歡“黨史知識競賽”項目的4個學(xué)生中只有1名女生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生參加該項目比賽,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一筆直的海岸線上有A、B兩個碼頭,A在B的正東方向,一艘小船從A碼頭沿北偏西60°的方向行駛了30海里到達點P處,此時從B碼頭測得小船在北偏東45°的方向.求此時小船到B碼頭的距離(即BP的長)和A、B兩個碼頭間的距離(結(jié)果都保留根號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校九年級學(xué)生共人,為了解這個年級學(xué)生的體能,從中抽取名學(xué)生進行分鐘的跳繩測試,結(jié)果統(tǒng)計的頻率分布如圖所示,其中從左至右前四個小長方形的高依次為 ,如果跳繩次數(shù)不少于次為優(yōu)秀,根據(jù)這次抽查的結(jié)果,估計全年級達到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】O為等邊△ABC所在平面內(nèi)一點,若△OAB、△OBC、△OAC都為等腰三角形,則這樣的點O一共有( 。
A. 4B. 5C. 6D. 10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中有三點A(2,4)、B(3,5)、P(a,a),將線段AB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,其中A、B的對應(yīng)點分別為C、D;
(1)當a=2時,
①在圖中畫出線段CD,保留作圖痕跡,并直接寫出C、D兩點的坐標;
②將線段CD向上平移m個單位,點C、D恰好同時落在反比例函數(shù)y=的圖象上,求m和k的值.
(2)若a=4,將函數(shù)y=(x>0)的圖象繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到新圖象,直線AB與新圖象的交點為E、F,則EF的長為 .(直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某五金商店準備從機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售.若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元,且用900元正好可以購進50個甲種零件和50個乙種零件.
(1)求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元?
(2)若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個,購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個,該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元,每個乙種零件的銷售價格為15元,則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后,可使銷售兩種零件的總利潤(利潤=售價-進價)超過371元,通過計算求出該五金商店本次從機械廠購進甲、乙兩種零件有哪幾種方案?
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