【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)Ay軸的正半軸上,點(diǎn)B在第二象限,AO=a,AB=b,BOx軸正方向的夾角為150°,a2b2+ab=0.

(1)試判定△ABO的形狀;

(2)如圖1,若BCBOBC=BO,點(diǎn)DCO的中點(diǎn),ACBD交于E,求證:AE=BE+CE

(3)如圖2,若點(diǎn)Ey軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn),以BE為邊作等邊△BEG,延長(zhǎng)GAx軸于點(diǎn)P,問:APAO之間有何數(shù)量關(guān)系?試證明你的結(jié)論.

【答案】1)△AOB為等邊三角形,理由見解析;(2)見解析;(3AP=2AO,證明見解析;

【解析】

1ABO為等邊三角形,理由為:根據(jù)(a2-b2+a-b=0,得到a=b,再由BOx軸正方向的夾角為150°得到∠AOB=60°,即可得證;

2)在AC上截取AM=CE,先證∠AEB=60°,方法是根據(jù)題意得到ABO為等邊三角形,BOC為等腰直角三角形,確定出∠ABD度數(shù),根據(jù)AB=BC,且∠ABC=120°,得到∠BAE度數(shù),進(jìn)而確定出∠AEB60°,再由AM=CE,得到AE=CM,再由AB=CB,且夾角∠BAC=BCA,利用SAS得到BCMBAE全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BM=BE,得到BEM為等邊三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代換即可得證;

3AP=2AO,理由為:由題意得到BG=BEAB=OB,利用等式的性質(zhì)得到∠ABG=OBE,利用SAS得到ABGOBE全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠GAB=BOE=60°,利用外角的性質(zhì)得到∠APO=30°,在RtAOP中,利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO

(1)結(jié)論:ABO為等邊三角形,

理由:∵a2b2+ab=(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1)=0,

ab=0,得到a=b,AO=AB

OBx軸正半軸夾角為150°

∴∠AOB=150°90°=60°

∴△AOB為等邊三角形;

(2)證明:在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM.

∵△AOB為等邊三角形,BOC為等腰直角三角形

∴∠OBC=90°,ABO=60°

DCO的中點(diǎn)

BD平分∠OBC,即∠CBD=OBD=45°

∴∠ABD=105°,ABC=150°

∴∠BAC=BCA=15°

∴∠AEB=60°

ABECBM

,

∴△ABE≌△CBM(SAS)

BM=BE

∴△BEM為等邊三角形

BE=EM

AE=AM+EM=CE+BE

(3)結(jié)論:AP=2AO,

理由:∵△AOBBGE都為等邊三角形

BE=BG,AB=OB,EBG=OBA=60°

∴∠EBG+EBA=OBA+EBA

即∠ABG=OBE

ABG和△OBE

∴△ABG≌△OBE(SAS)

∴∠BAG=BOE=60°

∴∠GAO=GAB+BAO=120°

∵∠GAO為△AOP的外角

且∠AOP=90°

∴∠APO=30°

RtAOP,APO=30°

AP=2AO.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)ABC(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).

1)在圖中作出ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的A1B1C1 (要求AA1,BB1,CC1相對(duì)應(yīng));

2)求ABC的面積;

3)在直線l上找一點(diǎn)P,使得PAC的周長(zhǎng)最。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)AB在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a,b,且

1)求AB的長(zhǎng);

2)點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,且x是方程2x-1x+2的解,在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+PBPC,若存在,直接寫出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù);若不存在,說明理由;

3)在(2)的條件下,若PA左側(cè)的點(diǎn),現(xiàn)點(diǎn)P、點(diǎn)A以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng),是否存在t的值,使PC的距離是AB的距離的兩倍?若存在,求出t值;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD∽四邊形GFEH,且∠A=G=70°,B=55°,E=120°,DC=20,HE=15,HG=21.求∠D,F的大小和AD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn),EFDEBC于點(diǎn)F.

(1)求證:ADEBEF.

(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4,AE=x,BF=y.當(dāng)x取什么值時(shí),y有最大值?并求出這個(gè)最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】10分如圖,ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)在直線AC上點(diǎn)E在F左側(cè),BEDF.

1求證:四邊形BEDF是平行四邊形;

2若ABAC,AB=4,BC=,當(dāng)四邊形BEDF為矩形時(shí),求線段AE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】解下列方程或方程組:

13x-(x-5)=2(2x-1);

2

3;

4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DGBC且平分BC,DEABE,DFACAC的延長(zhǎng)線于F


1)求證:BE=CF
2)如果AB=7,AC=5,求AEBE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(問題)
如圖1,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點(diǎn)D在直線l上移動(dòng),角的一邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊DFAC交于點(diǎn)P,研究DPDB的數(shù)量關(guān)系.


(探究發(fā)現(xiàn))
1)如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到使點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),通過推理就可以得到DP=DB,請(qǐng)寫出證明過程;
(數(shù)學(xué)思考)
2)如圖3,若點(diǎn)PAC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)AC),受(1)的啟發(fā),這個(gè)小組過點(diǎn)DDGCDBC于點(diǎn)G,就可以證明DP=DB,請(qǐng)完成證明過程;
(拓展引申)
3)如圖4,在(1)的條件下,MAB邊上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、B),N是射線BD上一點(diǎn),且AM=BN,連接MNBC交于點(diǎn)Q,這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取M點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在某一位置時(shí)BQ的值最大.若AC=BC=4,請(qǐng)你直接寫出BQ的最大值.

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