【題目】(問(wèn)題)
如圖1,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于AB.∠EDF=90°,點(diǎn)D在直線l上移動(dòng),角的一邊DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,另一邊DFAC交于點(diǎn)P,研究DPDB的數(shù)量關(guān)系.


(探究發(fā)現(xiàn))
1)如圖2,某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到使點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),通過(guò)推理就可以得到DP=DB,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程;
(數(shù)學(xué)思考)
2)如圖3,若點(diǎn)PAC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、C),受(1)的啟發(fā),這個(gè)小組過(guò)點(diǎn)DDGCDBC于點(diǎn)G,就可以證明DP=DB,請(qǐng)完成證明過(guò)程;
(拓展引申)
3)如圖4,在(1)的條件下,MAB邊上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)AB),N是射線BD上一點(diǎn),且AM=BN,連接MNBC交于點(diǎn)Q,這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)多次取M點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在某一位置時(shí)BQ的值最大.若AC=BC=4,請(qǐng)你直接寫(xiě)出BQ的最大值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)2

【解析】

1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB=CBA=45°,由平行線的性質(zhì)可得∠CBA=DCB=45°,即可證DB=DP;
【數(shù)學(xué)思考】
2)通過(guò)證明CDP≌△GDB,可得DP=DB
【拓展引申】
3)過(guò)點(diǎn)MMHMNAC于點(diǎn)H,通過(guò)證明AMH≌△BNQ,可得AH=BQ,通過(guò)證明ACM∽△BMQ,可得,可得BQ=+2,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求BQ的最大值.

1)∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠CAB=CBA=45°
CDAB
∴∠CBA=DCB=45°,且BDCD
∴∠DCB=DBC=45°
DB=DC
DB=DP
【數(shù)學(xué)思考】
2)∵DGCD,∠DCB=45°
∴∠DCG=DGC=45°
DC=DG,∠DCP=DGB=135°,
∵∠BDP=CDG=90°
∴∠CDP=BDG,且DC=DG,∠DCP=DGB=135°
∴△CDP≌△GDBASA
DB=DP
【拓展引申】
3)如圖4,過(guò)點(diǎn)MMHMNAC于點(diǎn)H,連接CM,HQ,

MHMN
∴∠AMH+NMB=90°
CDAB,∠CDB=90°
∴∠DBM=90°
∴∠NMB+MNB=90°
∴∠HMA=MNB,且AM=BN,∠CAB=CBN=45°
∴△AMH≌△BNQASA
AH=BQ
∵∠ACB=90°,AC=BC=4
AB=4,AC-AH=BC-BQ
CH=CQ
∴∠CHQ=CQH=45°=CAB
HQAB
∴∠HQM=QMB
∵∠ACB=HMQ=90°
∴點(diǎn)H,點(diǎn)M,點(diǎn)Q,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓,
∴∠HCM=HQM
∴∠HCM=QMB,且∠A=CBA=45°
∴△ACM∽△BMQ


BQ=+2
AM=2時(shí),BQ有最大值為2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)試判定△ABO的形狀;

(2)如圖1,若BCBO,BC=BO,點(diǎn)DCO的中點(diǎn),ACBD交于E,求證:AE=BE+CE

(3)如圖2,若點(diǎn)Ey軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn),以BE為邊作等邊△BEG,延長(zhǎng)GAx軸于點(diǎn)P,問(wèn):APAO之間有何數(shù)量關(guān)系?試證明你的結(jié)論.

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1)在圖中選取1個(gè)空白小正方形涂上陰影,使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

2)在圖中選取1個(gè)空白小正方形涂上陰影,使4個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形,但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

3)在圖中選取2個(gè)空白小正方形涂上陰影,使5個(gè)陰影小正方形組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形.(請(qǐng)將三個(gè)小題依次作答在圖、圖、圖中,均只需畫(huà)出符合條件的一種情形)

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(1)求甲、乙兩種門(mén)票每張各多少元?

(2)如果公司準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)35張門(mén)票且購(gòu)票費(fèi)用不超過(guò)1000元,那么最多可購(gòu)買(mǎi)多少?gòu)埣追N票?

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1)求甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成的綠化面積;

2)若計(jì)劃綠化的區(qū)域面積是,甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用是萬(wàn)元,乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為萬(wàn)元.

①當(dāng)甲、乙各施工幾天,既能剛好完成綠化任務(wù),又能使總費(fèi)用恰好為萬(wàn)元;

②按要求甲隊(duì)至少施工天,乙隊(duì)至多施工天,當(dāng)甲乙各施工幾天,既能剛好完成綠化任務(wù),又使得總費(fèi)用最少(施工天數(shù)不能是小數(shù))并求最少總費(fèi)用.

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