Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于點A（m，-2）．
（1）求正比例函數(shù)的解析式及兩函數(shù)圖象另一個交點B的坐標；
（2）試根據(jù)圖象寫出不等式

k

x

≥kx的解集；
（3）在反比例函數(shù)圖象上是否存在點C，使△OAC為等邊三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）把點A的坐標代入y=

k

x

和y=kx求出m的值，再運用A的坐標求出k，兩函數(shù)解析式聯(lián)立得出B點的坐標．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象以及交點坐標即可求得不等式

k

x

≥kx的解集．
（3）討論當C在第一象限時，△OAC不可能為等邊三角形，當C在第三象限時，設C（x，y）（x＜0），根據(jù)OA=OC=AC，列出方程組，解方程組得到x+y=-

5

2

，根據(jù)y=

2

x

轉(zhuǎn)化成x+

2

x

=-

5

2

，整理成2x²+5x+4=0，根據(jù)△=5²-4×2×4=-7＜0，從而判定不存在符合條件的點C．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于點A（m，-2）．
把A（m，-2）代入y=

k

x

得-2=

k

m

，代入y=kx得-2=km，
∴

k

m

=km，
解得m=±1，
∵A在第二象限，
∴m=-1，
∴A（-1，-2）代入y=kx，
∴-2=k×（-1），解得，k=2，
∴正比例函數(shù)的解析式為y=2x，
又由2x=

2

x

，解得x=1或x=-1，
∴B（1，2）．
（2）由圖象可知不等式

k

x

≥kx的解集x≤-1或0＜x≤1．
（3）①當點C在第一象限時，△OAC不可能為等邊三角形，
②如圖，當C在第三象限時，要使△OAC為等邊三角形，則OA=OC=AC，設C（x，y）（x＜0），

 
∵A（-1，-2），
∴OA=

5

，
∴

x2+y2=5 (x+1)2+(y+2)2=5

，
解得x+y=-

5

2

，
∵點C在反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上，
∴x+

2

x

=-

5

2

，
整理得，2x²+5x+4=0，
∴△=5²-4×2×4=-7＜0，
∴不存在符合條件的點C．

點評：點評：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法以及數(shù)形結合思想的運用是解題的關鍵．