【題目】如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,M點(diǎn)在邊AC上,且CM=2,過(guò)M點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)交AB邊于E點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向M點(diǎn)運(yùn)動(dòng),速度為1個(gè)單位/秒,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)M點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.連接EPEC,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.在此過(guò)程中:

1)當(dāng)t=1時(shí),求EP的長(zhǎng)度;

2)當(dāng)t為何值時(shí),△EPC是等腰三角形?

3)如圖2,若點(diǎn)N是線(xiàn)段ME上一點(diǎn),且MN=3,點(diǎn)Q是線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn),連接PQPN、NQ得到△PQN,請(qǐng)直接寫(xiě)出△PQN周長(zhǎng)的最小值.

【答案】15;(2)當(dāng)t=12或(6-2)時(shí),△PEC是等腰三角形;(3△PQN周長(zhǎng)的最小值是

【解析】

1)根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)列出比例式,求出EP;

2)分EP=ECPC=PE、CP=CE三種情況,根據(jù)等腰三角形的概念、勾股定理計(jì)算即可;

3)作點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′,關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′′,連接N′N(xiāo)′′ACP,交ABQ,連接N′′E,根據(jù)勾股定理求出N′N(xiāo)′′,得到答案.

解:(1)∵∠ACB=90°,EMAC,

EMBC,

ME=4,

當(dāng)t=1秒時(shí),AP=1

PM=3,

EP=

2)當(dāng)EP=EC時(shí),PM=MC

4-t=2,

解得,t=2,

當(dāng)PC=PE時(shí),(4-t2+42=6-t2,

解得,t=1,

當(dāng)CP=CE時(shí),22+42=6-t2,

解得,t1=6+(舍去),t2=6-,

當(dāng)t=12或(6-2)時(shí),△PEC是等腰三角形;

3)作點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′,關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′′,連接N′N(xiāo)′′ACP,交ABQ,連接N′′E,則△PQN即為周長(zhǎng)最小的三角形;

由題意得,N′E=7,N′′E=NE=1,

MEBC,

∴∠AEN=B=45°

∴∠N′′EN=90°,

N′N(xiāo)′′=,

△PQN周長(zhǎng)的最小值是

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2)若C在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且滿(mǎn)足ACBCbcmM、N分別為AC、BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎?請(qǐng)畫(huà)出圖形,寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.

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