【題目】拋物線y=x2+bx+cx軸交于A(1,0),B(m,0),與y軸交于C.

(1)若m=-3,求拋物線的解析式,并寫出拋物線的對稱軸;

(2)如圖1,在(1)的條件下,設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D,在拋物線對稱軸左側(cè)上有 一點E,使SACESACD,求E點的坐標(biāo);

(3) 如圖2,設(shè)F(-1,-4),FG⊥y軸于G,在線段OG上是否存在點P,使 ∠OBP=∠FPG? 若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2+2x-3;(2)點E坐標(biāo)為(-2,-3);(3)m的取值范圍是:-4≤m≤4,且m≠0.

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,并配方求對稱軸;

(2)如圖1,設(shè)E(n,n2+2n-3),先根據(jù)已知條件求S△ACE=3,根據(jù)不規(guī)則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得n的值,并根據(jù)在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點E,則點E的橫坐標(biāo)小于-1,對n的值進行取舍,得到E的坐標(biāo);

(3) 設(shè)P(0,y),根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,列出相應(yīng)的比例關(guān)系式,由y的取值范圍判斷m的取值范圍,注意分兩種情況討論①當(dāng)B在原點的左側(cè)時,②當(dāng)B在原點的右側(cè)時.

(1)當(dāng)m=-3,B(-3,0),

把A(1,0),B(-3,0)代入y=x2+bx+c,聯(lián)立方程組求得,b=2,c=-3,

拋物線的解析式為y=x2+2x-3,

對稱軸x=-1;

(2)如圖,設(shè)E(n,n2+2n-3),由題意得:AD=1+1=2,OC=3,SACE=SACD=ADOC=3,

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,把A(1,0)E(n,n2+2n-3)代入,得

解得

∴直線AE的解析式為:y=(n+3)x-n-3,

F(0,-n-3).

∵C(0,-3),

FC=-n-3-(-3)=-n,

SACE=FC(1-n)=3,

-n(1-n)=6,

n2-n-6=0,

n1=-2,n2=3(舍去),

E(-2,-3).

(3)設(shè)點P(0,y)

m<0時,如圖所示,

易證△POB~△FPG,得

∴m=y2+4y=(y+2)2-4

∵-4<y<0,∴-4≤m<0

②當(dāng)m>0時,如圖所示,

易證△POB~△FPG,得

∴m= -y2 -4y= -(y+2)2+4

∵-4<y<0 ∴0<m≤4

綜上所述,m的取值范圍是:-4≤m≤4,且m≠0.

故答案為:(1y=x2+2x-3;(2)點E坐標(biāo)為(-2,-3);(3)m的取值范圍是:-4≤m≤4,且m≠0.

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