Question

如圖，P是等腰Rt△ACB內(nèi)一點(diǎn)，AC=BC，且PA=8，PB=10，PC=

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．將△CPB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A．
（1）直接寫出旋轉(zhuǎn)的最小角度；
（2）求∠APC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得CA=CB，∠ACB=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACB等于旋轉(zhuǎn)角，于是可判斷旋轉(zhuǎn)的最小角度為90°；
（2）連結(jié)PP′，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP=

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，P′A=PB=10，則可判斷△CPP′為等腰直角三角形，得到PP′=

2

CP=6，∠CPP′=45°，然后利用勾股定理的逆定理判斷△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，于是利用∠APC=∠APP′+∠CPP′計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∵△CPB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A，
∴∠ACB等于旋轉(zhuǎn)角，
∴旋轉(zhuǎn)的最小角度為90°；
（2）連結(jié)PP′，如圖，
∵△CPB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到△CP′A，
∴∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP=

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，P′A=PB=10，
∴△CPP′為等腰直角三角形，
∴PP′=

2

CP=

2

×

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=6，∠CPP′=45°，
在△APP′中，∵PP′=6，PA=8，P′A=10，
∴PP′²+PA²=P′A²，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴∠APC=∠APP′+∠CPP′=90°+45°=135°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．