Question

如圖，C為弧AB中點(diǎn)，OA⊥CD于M，CN⊥DB于N，且BD為直徑，ON=2．
求：（1）∠DOM的度數(shù)；（2）CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理求得

AD

=

AC

，進(jìn)而求得

AD

=

AC

=

BC

，即可求得∠DOM=

1

3

×180°=60°；
（2）連接OC，先求得∠DOM=60°，從而求得∠D=30°，即可求得CD=2CN，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求得∠CON=60°，根據(jù)圓周角定理求得∠OCN=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得CD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵OA⊥CD于M，
∴

AD

=

AC

，
∵

AC

=

BC

，
∴

AD

=

AC

=

BC

，
∵BD為直徑，
∴∠DOM=

1

3

×180°=60°；
（2）連接OC，
∵OA⊥CD，∠DOM=60°，
∴∠D=30°，
∴CD=2CN，
∵

AD

=

AC

=

BC

，
∴∠CON=60°，
∴∠OCN=30°，
∵CN⊥DB于N，
∴OC=2ON=4，
∴CN=

OC2-ON2

=2

3

，
∴CD=2CN=2×2

3

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理等，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．