【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標為(4,0),且當x=﹣2和x=5時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.
(1)求實數(shù)a、b的值;
(2)如圖1,動點E、F同時從A點出發(fā),其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動,點F以每秒 個單位長度的速度沿射線AC方向運動.當點E停止運動時,點F隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒.連接EF,將△AEF沿EF翻折,使點A落在點D處,得到△DEF.
①是否存在某一時刻t,使得△DCF為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
【答案】
(1)
解:由題意得
解得:a= ,b=﹣
(2)
解:①由(1)知二次函數(shù)為y= x2﹣ x﹣2
∵A(4,0),∴B(﹣1,0),C(0,﹣2)
∴OA=4,OB=1,OC=2
∴AB=5,AC=2 ,BC=
∴AC2+BC2=25=AB2
∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90°
∵AE=2t,AF= t,∴ =
又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后,點A落在x軸上點D處;
由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF= AE=t
假設(shè)△DCF為直角三角形
當點F在線段AC上時
(i)若C為直角頂點,則點D與點B重合,如圖2
∴AE= AB=
t= ÷2= ;
(ii)若D為直角頂點,如圖3
∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC
∵OC⊥BD,∴OD=OB=1
∴AD=3,∴AE=
∴t= ;
當點F在AC延長線上時,∠DFC>90°,△DCF為鈍角三角形
綜上所述,存在時刻t,使得△DCF為直角三角形,t= 或t= .
②(i)當0<t≤ 時,重疊部分為△DEF,如圖1、圖2
∴S= ×2t×t=t2;
(ii)當 <t≤2時,設(shè)DF與BC相交于點G,則重疊部分為四邊形BEFG,如圖4
過點G作GH⊥BE于H,設(shè)GH=a
則BH= ,DH=2a,∴DB=
∵DB=AD﹣AB=4t﹣5
∴ =4t﹣5,∴a= (4t﹣5)
∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣ (4t﹣5)× (4t﹣5)=﹣ t2+ t﹣ ;
(iii)當2<t≤ 時,重疊部分為△BEG,如圖5
∵BE=DE﹣DB=2t﹣(4t﹣5)=5﹣2t,GE=2BE=2(5﹣2t)
∴S= ×(5﹣2t)×2(5﹣2t)=4t2﹣20t+25.
【解析】(1)根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點A以及“當x=﹣2和x=5時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個條件,列出方程組求出待定系數(shù)的值.(2)①首先由拋物線解析式能得到點A、B、C三點的坐標,則線段OA、OB、OC的長可求,進一步能得出AB、BC、AC的長;首先用t 表示出線段AD、AE、AF(即DF)的長,則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似,那么△AEF也是一個直角三角形,及∠AEF是直角;若△DCF是直角,可分成三種情況討論:1、點C為直角頂點,由于△ABC恰好是直角三角形,且以點C為直角頂點,所以此時點B、D重合,由此得到AD的長,進而求出t的值;2、點D為直角頂點,此時∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角,由此可證得OB=OD,再得到AD的長后可求出t的值;3、點F為直角頂點,當點F在線段AC上時,∠DFC是銳角,而點F在射線AC的延長線上時,∠DFC又是鈍角,所以這種情況不符合題意.②此題需要分三種情況討論:1、當點E在點A與線段AB中點之間時,兩個三角形的重疊部分是整個△DEF;2、當點E在線段AB中點與點O之間時,重疊部分是個不規(guī)則四邊形,那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得;3、當點E在線段OB上時,重疊部分是個小直角三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,連接AE,CD,AE與CD交于點M,AE與BC交于點N.
(1)求證:AE=CD;
(2)求證:AE⊥CD;
(3)連接BM,有以下兩個結(jié)論:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正確的有 (請寫序號,少選、錯選均不得分).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以Rt△ABC的三邊分別為直徑作半圓,若Rt△ABC三邊長分別為3,x,5,則圖中陰影部分的面積為___________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在下列條件中,不能作為判斷△ABD≌△BAC的條件是( )
A. ∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B. ∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC
C. BD=AC,∠BAD=∠ABC D. AD=BC,BD=AC
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次軍事演習中,藍方在﹣條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退,紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截.紅方行駛2000米到達C后,因前方無法通行,紅方?jīng)Q定調(diào)整方向,再朝南偏西45°方向前進了相同距離,剛好在D處成功攔截藍方.
(1)求點C到公路的距離;
(2)求紅藍雙方最初的距離.(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE=BC,連結(jié)DE,CF。
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的長。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將△ABC沿DE、HG、EF分別翻折,三個頂點均落在點O處,且EA與EB重合于線段EO,若∠DOH=78°,則∠FOG的度數(shù)為( ).
A. 78° B. 102° C. 112° D. 120°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,以B為圓心,任意長為半徑畫弧交AB,BC于點E,F(xiàn),再分別以點E,F(xiàn)為圓心、以大于EF長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線BP交AC于點D,則∠BDC為( 。┒龋
A. 65 B. 75 C. 80 D. 85
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