Question

【題目】已知，正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），點(diǎn)F在線段AE上，過(guò)點(diǎn)F的直線，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)F為AE中點(diǎn)時(shí)，連接正方形的對(duì)角線BD，MN與BD交于點(diǎn)G，連接BF，求證：；

（3）如圖，在（2）的條件下，若，，求BM的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)得出∠B=90°，得出∠BAE+∠AEB=90°，由垂直的性質(zhì)得出∠BAE+∠AMN=90°，即可得出結(jié)論；

（2）連接AG、EG、CG，證明△ABG≌△CBG得出AG=CG，∠GAB=∠GCB，證出EG=CG，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠GEC=∠GCE，證出∠AGE=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BF=AE，FG=AE，即可得出結(jié)論；

（3）過(guò)G作交AD于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，證明DP=PG=2，連接ME，證明MN是AE的垂直平分線，得，，再證明得，得，進(jìn)而得，中，由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，從而得出結(jié)論.

（1）（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵MN⊥AE于F，

∴∠BAE+∠AMN=90°，

∴∠AEB=∠AMN；

（2）證明：連接AG、EG、CG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABG=∠CBG=45°，∠ABE=90°，

在△ABG和△CBG中，

，

∴△ABG≌△CBG（SAS），

∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，

∵MN⊥AE于F，F為AE中點(diǎn)，

∴AG=EG，

∴EG=CG，

∴∠GEC=∠GCE，

∴∠GAB=∠GEC，

∵∠GEB+∠GEC=180°，

∴∠GEB+∠GAB=180°，

∵四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°，∠ABE=90°，

∴∠AGE=90°，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE為斜邊，F為AE的中點(diǎn)，

∴BF=AE，FG=AE，

∴BF=FG；

（3）過(guò)G作交AD于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q，則 ，，

中，， ，

∴ ，

∴

∵，

∴ ，

∴ 即

連接ME ∵于F，F為AE的中點(diǎn),

∴MN是AE的垂直平分線

∴，

由（2）知 ，，

∴，

又，

∴，

∴ ，

∴ ，

又，

∴

∴

∴

∵

∴四邊形PDCQ為矩形

∴

設(shè)

∵E是BC中點(diǎn)

∴

∴

∴ 即

∴

∴

設(shè)

∴

中，由勾股定理得

∴ 解得

∴