Question

如圖，從⊙O外一定點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，若C為

AB

上一動(dòng)點(diǎn)，過C作⊙O的切線交PA、PB于D、E，Q為優(yōu)弧

AB

上任一點(diǎn)，已知PA=a，∠P=α．
（1）求證：△PDE的周長(zhǎng)為定值，并求出定值；
（2）求證：∠DOE的度數(shù)為定值，并求出定值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先證明DA=DC，EB=EC，進(jìn)而證明PA=PB，即可解決問題；
（2）首先證明△ODA≌△ODC，進(jìn)而得到∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE，即可解決問題．

解答：證明：（1）如圖，
∵DA、DC分別為⊙O的切線，
∴DA=DC；
同理可證：EB=EC，
∴DE=DA+EB；
∴PD+PE+DE=PA+PB；
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴PA=PB=a，
∴△PDE的周長(zhǎng)為定值，定值為2a．
（2）如圖，連接OA、OB；
∵PA、PB分別為⊙0的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠P+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-α；
∵DA、DC為⊙O的切線，
∴OA⊥DA，OB⊥EB；
在△ODA與△ODC中，

OA=OC OD=OD

，
∴△ODA≌△ODC（HL），
∴∠AOD=∠COD，
同理可證：∠BOE=∠COE，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB=90°-

1

2

α，
故∠DOE的度數(shù)為定值，定值為90°-

1

2

α．

點(diǎn)評(píng)：該命題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理后解答．