Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C，OD⊥AB交AC于E，tan∠DEC=3，求sin∠D的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OC，如圖，由OD⊥AB得∠AOE=90°，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠DEC=∠AEO，則tan∠AEO=tan∠DEC=3，則在Rt△AOE中，利用正切的定義得tan∠AEO=

AO

EO

=3，于是可設(shè)AO=x，OA=3x，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，接著證明∠DCE=∠DEC得到DE=DC，然后在Rt△COD中利用勾股定理得到（3x）²+CD²=（x+CD）²，解得CD=4x，則OD=5x，最后利用正弦的定義求解．

解答：解：連結(jié)OC，如圖，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠DEC=∠AEO，
∴tan∠AEO=tan∠DEC=3，
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=3，
設(shè)AO=x，則OA=3x，
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠OCE+∠DCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
而∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE=∠AEO，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
在Rt△COD中，OC=3x，OD=x+DE=x+DC，
∵OC²+CD²=OD²，
∴（3x）²+CD²=（x+CD）²，解得CD=4x，
∴OD=5x，
∴sinD=

OC

OD

=

3x

5x

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了等腰三角形的判定與勾股定理．