Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）在平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)A、B、C、M構(gòu)成平行四邊形，如果存在，直接寫出M坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）；（4）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，3）或（﹣4，3）．

【解析】

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b、c的值，可求解；

（2）令x＝0，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，將函數(shù)解析式配方即得拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意列出方程即可求得y，即得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）分三種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x＝0，則y＝3，

∴C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE以OC為底，點(diǎn)E到y軸的距離為高，由（2）知，點(diǎn)E在對稱軸x=1上，S△ABP以AB為底，點(diǎn)P到x軸的距離為高，

則S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4y＝2y，

∵S△ABP＝4S△COE，

∴2y＝4×，

∴y＝3，

∴﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0（不合題意，舍去），x2＝2，

∴P（2，3）；

（4）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，3）或（﹣4，3）．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)M（m，n），A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3），

若AB為對角線，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和CM的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，

則，，

∴m＝2，n＝﹣3，

∴點(diǎn)M（2，﹣3）；

若BC為對角線，則，，

∴m＝4，n＝3，

∴點(diǎn)M（4，3）；

若AC為對角線，則，，

∴m＝﹣4，n＝3，

∴點(diǎn)M（﹣4，3）；

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，3）或（﹣4，3）．