如圖①,兩個菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形,對角線均在坐標(biāo)軸上,已知菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2,∠BAD=120°,其中AD=4.
(1)點D坐標(biāo)為__________,點E坐標(biāo)為__________;
(2)固定圖①中的菱形ABCD,將菱形EFCH繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)α度角(0°<α<90°),并延長OE交AD于P,延長OH交CD于Q,如圖②所示,
①當(dāng)α=30°時,求點P的坐標(biāo);
②試探究:在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在某一角度α,使得四邊形AFEP是平行四邊形?若存在,請推斷出α的值;若不存在,說明理由.
解答: 解:(1)如圖①,∵∠BAD=120°,四邊形ABCD是菱形,
∴∠OAD=∠BAD=60°.
又∵在直角△AOD中,AD=4,
∴OA=AD•cos60°=4×=2,
OD=AD•sin60°=4×=2
.
又菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2,
∴OE:OA=1:2,
∴OE=1,
∴點D坐標(biāo)為 (2,0),點E坐標(biāo)為 (0,1).
故答案是:(2,0),(0,1);
(2)①由(1)知,OA=2,OD=2,∠OAD=60°.
∵菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2,AD=4,
∴EF=AB=
AD=2.
①當(dāng)α=30°時,∠APO=90°,則AP=OA=1.
如圖②,作PM⊥OA于點M.則AM=AP=
,PM=
,
∵OM=OA﹣AM=,
∴點P的坐標(biāo)是(,
);
②當(dāng)α=60°時,四邊形AFEP是平行四邊形.理由如下:
∵在旋轉(zhuǎn)過程中,EF=2,∠FEO=60°,∠OAP=60°,當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)角度α=60°時,得△AOP是等邊三角形,此時∠APO=60°,AP=2,
∴AP=EF,
∴∠APO=∠FEO,得AP∥EF,
∴四邊形AFEP是平行四邊形,
∴當(dāng)α=60°時,四邊形AFEP是平行四邊形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
將矩形紙片ABCD按如圖
所示的方式折疊,AE、EF為折痕,
∠BAE=30°,,折疊后,點C落在AD邊上的
C1處,并且點B落在EC1邊上的B1處.則BC的長為( )
A. B. 2 C. 3 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,四邊形OABC是矩形,四邊形ADEF是正方形,點A、D在x軸的負(fù)半軸上,點C在y軸的正半軸上,點F在AB上,點B、E在反比例函數(shù)y=
(k為常數(shù),k≠0)的圖象上,正方形ADEF的面積為4,且BF=2AF,則k值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
一件工作甲單獨做a小時完成,乙單獨做b小時完成,甲、乙兩人一起完成這項工作需要的小時數(shù)是( )
A. B.
C.
+
D.
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