【題目】如圖1,拋物線y=mx2﹣4mx+3m(m>0)與x軸交于A,B兩點(點B在點A右側(cè)).與y軸交點C,與直線l:y=x+1交于D、E兩點,
(1)當m=1時,連接BC,求∠OBC的度數(shù);
(2)在(1)的條件下,連接DB、EB,是否存在拋物線在第四象限上一點P,使得S△DBE=S△DPE?若存在,求出此時P點坐標及PB的長度;若不存在,請說明理由;
(3)若以DE為直徑的圓恰好與x軸相切,求此時m的值.
【答案】(1)∠OBC=45°;(2)存在,P(2,﹣1),BP=;(3)m= 或﹣.
【解析】
(1)拋物線y=mx2-4mx+3m=m(x2-4x+3)=m(x-1)(x-3),把當m=1代入即可求解;
(2)S△DBE=S△DPE,∴點B、點P到直線DE的距離相等即可求解;
(3)求出DE的中點坐標為(,),即DE的長度,則圓的半徑=DE,利用=DE,即可求解.
(1)∵拋物線y=mx2﹣4mx+3m=m(x2﹣4x+3)=m(x﹣1)(x﹣3),
∴A(1,0),B(3,0),
∴OB=3,
當m=1時,拋物線解析式為y=x2﹣4x+3,
∴C(0,3),∴OC=3,
∴OB=OC,在Rt△OBC中,∠BOC=90°,
∴∠OBC=45°;
(2)∵S△DBE=S△DPE,
∴點B、點P到直線DE的距離相等,即可求解,
∴BP∥DE,
由(1)知,B(3,0),
∵直線DE的解析式為y=x+1,
∴直線BP的解析式為y=x﹣3①,
∵拋物線解析式為y=x2﹣4x+3②,
聯(lián)立①②解得,或(點B的坐標,舍去),
∴P(2,﹣1),
∵B(3,0),
∴BP==;
(3)∵點D,E在直線y=x+1上,
∴設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),
∵拋物線y=mx2﹣4mx+3m…③,
直線l:y=x+1…④,
聯(lián)立③④得,mx2﹣4mx+3m=x+1,
∴mx2﹣(4m+1)x+(3m﹣1)=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴y1+y2=x1+x2+2=,
∴DE的中點坐標為(,),
DE====,
∵以DE為直徑的圓恰好與x軸相切,
∴圓的半徑=DE,
則:= ,
整理得:28m2﹣12m﹣1=0,
解得:m=或﹣.
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【題目】綦江中學(xué)新校區(qū)建設(shè)正按計劃順利推進,其中有一塊矩形地面準備用同樣規(guī)格的黑、白兩色的正方形瓷磚按如圖所示的設(shè)計進行鋪設(shè),請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題.
第n個圖中共有塊瓷磚用含n的代數(shù)式表示;
按上述鋪設(shè)方案,鋪這塊矩形地面共用了506塊瓷磚,求此時n的值;
是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請通過計算說明理由.
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【題目】已知頂點為P的拋物線C1的解析式為y=a(x-3)2(a≠0),且經(jīng)過點(0,1).
(1)求a的值及拋物線C1的解析式;
(2)如圖,將拋物線C1向下平移h(h>0)個單位得到拋物線C2,過點K(0,m2)(m>0)作直線l平行于x軸,與兩拋物線從左到右分別相交于A,B,C,D四點,且A,C兩點關(guān)于y軸對稱.
①點G在拋物線C1上,當m為何值時,四邊形APCG為平行四邊形?
②若拋物線C1的對稱軸與直線l交于點E,與拋物線C2交于點F.試探究:在K點運動過程中,的值是否改變?若會,請說明理由;若不會,請求出這個值.
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【題目】一個學(xué)生蕩秋千,秋千鏈子的長度為,當秋千向兩邊擺動時,擺角(指擺到最高位置時的秋千與鉛垂線的夾角)恰好是,則它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差為 ____m.(結(jié)果可以保留根號)
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【題目】濟南某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城,點贊泉城”書畫比賽中,楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班(用A,B,C,D表示),對征集到的作鼎的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計,制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(l)楊老師采用的調(diào)查方式是 (填“普查”或“抽樣調(diào)查”);
(2)請補充完整條形統(tǒng)計圖,并計算扇形統(tǒng)計圖中C班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù) .
(3)請估計全校共征集作品的什數(shù).
(4)如果全枝征集的作品中有5件獲得一等獎,其中有3名作者是男生,2名作者是女生,現(xiàn)要在獲得一樣等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會,請你用列表或樹狀圖的方法,求恰好選取的兩名學(xué)生性別相同的概率.
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【題目】如圖,直線y=2x+2與y軸交于A點,與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于點M,過M作MH⊥x軸于點H,且tan∠AHO=2.
(1)求k的值;
(2)點N(a,1)是反比例函數(shù)(x>0)圖象上的點,在x軸上是否存在點P,使得PM+PN最。咳舸嬖,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】自行車遠動員甲準備參加一項國際自行車賽事,為此特地騎自行車從A地出發(fā),勻速前往168千米外的B地進行拉練.出發(fā)2小時后,乙發(fā)現(xiàn)他忘了帶某訓(xùn)練用品,于是馬上騎摩托車從A地出發(fā)勻速去追甲送該用品.已知乙騎摩托車的速度比甲騎自行車的速度每小時多30千米,但摩托車行駛一小時后突遇故障,修理15分鐘后,又上路追甲,但速度減小了,乙追上甲交接了訓(xùn)練用品(交接時間忽略不計),隨后立即以修理后的速度原路返回,甲繼續(xù)以原來的速度騎行直至B地.如圖表示甲、乙兩人之間的距離S(千米)與甲騎行的時間t(小時)之間的部分圖象,則當甲達到B地時,乙距離A地_____千米.
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【題目】下圖中的方格圖均是由邊長為1的小正方形組成的,現(xiàn)通過圖形變換將圖1中陰影部分的圖形割補成一個正方形。其思想方法是:由于要拼成的正方形的面積為“5”(由5個小正方形組成),則正方形的邊長為,而=。因此,具體做法是:①連結(jié)A1A3、A1A5;②將△A1A2A3繞A3沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°;③將△A1A5A6繞A5沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°;④將小正方形A1A6A7A8先向左平移2個單位,再向上平移1個單位。圖中四邊形A1A3A4A5即是所求作的正方形。仿照此方法將圖2中的陰影部分的圖形割補成正方形。(要求:直接在圖上畫出圖形,并寫出一種具體做法。)
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【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,點E在AD上,EC平分∠BED.
(1)試判斷△BEC是否為等腰三角形,并說明理由.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的長.
(3)在原圖中畫△FCE,使它與△BEC關(guān)于CE的中點O成中心對稱,此時四邊形BCFE是什么特殊平行四邊形?請說明理由.
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