Question

結(jié)論：在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=

3

，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．
李明同學(xué)做了如圖2所示的輔助線：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，連接PP′，從而問(wèn)題得到解決．你能說(shuō)說(shuō)其中的理由嗎？
請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=

5

，BP=

2

，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．?

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP′=CP=1，BP′=BP=

3

，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等邊△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由∠MP′B=30°，求出BM=

3

2

，P′M=

3

2

，根據(jù)勾股定理即可求出答案；
（2）求出∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求出FE=BF=1，AF=2，關(guān)鍵勾股定理即可求出AB．

解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=

3

，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等邊三角形，
∴PP′=

3

，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′²+PP′²=AP²，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴∠MP′B=30°，BM=

3

2

，
由勾股定理得：P′M=

3

2

，
∴AM=1+

3

2

=

5

2

，
由勾股定理得：AB=

AM2+BM2

=

7

，

（2）解：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，
與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=

2

，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=

5

，EP=2，
∴AE²+PE²=AP²，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=

5

；
∴∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為

5

．
答：∠BPC的度數(shù)是135°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的 直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．