Question

【題目】如圖，以的三邊為邊分別作等邊、、，則下列結論：①①；②四邊形為平行四邊形；③當時，四邊形是菱形；④當時，四邊形是矩形．其中正確的結論有（ ）個．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由△ABE與△BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△EBF與△DFC全等；

②利用（1）中全等三角形對應邊相等得到EF＝AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF＝AD，AE＝DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形；

③當AE＝AD時，ADFE是菱形，可以用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷即可；

④當∠BAC＝150°，由此可求得∠EAD的度數(shù)，則可得ADFE是矩形，由此即可判斷；

∵△ABE、△BCF為等邊三角形，

∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，

∴∠ABE∠ABF＝∠FBC∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（SAS），

∴EF＝AC，

又∵△ADC為等邊三角形，

∴CD＝AD＝AC，

∴EF＝AD＝DC，

同理可得△ABC≌△DFC，

∴DF＝AB＝AE＝DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

∴∠FEA＝∠ADF，

∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，

在△FEB和△CDF中，，

∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正確，

∴EB＝DF，EF＝DC．

∵△ACD和△ABE為等邊三角形，

∴AD＝DC，AE＝BE，

∴AD＝EF，AE＝DF

∴四邊形AEFD是平行四邊形；故②正確，

若AB＝AC，則AE＝AD，四邊形AEFD是菱形此，

故△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AEFD是菱形；故③正確；

若∠BAC＝90°，則平行四邊形AEFD是矩形；

由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD＝90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，

∴∠BAC＝360°60°60°90°＝150°，

即△ABC滿足∠BAC＝150°時，四邊形AEFD是矩形；

∴∠BAC＝90°，四邊形AEFD不是矩形；故④錯誤，

故選：C．