Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別是射線AB，射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)F，且DF=EF，過點(diǎn)D作DG垂直CB于點(diǎn)G，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，先將∠ADH沿直線AD翻折交AC于點(diǎn)K，若∠BAC=60°，CF：CK=3：5，KE=

14

3

，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：計(jì)算題

分析：作FP⊥AC于P，如圖，先判斷△ABC為等邊三角形得到∠B=∠ACB=60°，由DG⊥BC可得∠BDG=30°，∠H=30°，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠ADH=30°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DKH=90°，設(shè)CF=3x，則CK=5x，由于FD=FE，F(xiàn)P⊥EK，DK⊥AC，則PE=PK，PF為△EDK的中位線，所以PK=

1

2

KE=

7

3

，PC=CK-PK=5x-

7

3

，在Rt△PCF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得FC=2PC，即3x=2（5x-

7

3

），解得x=

2

3

，則PC=1，PF=

3

PC=

3

，DK=2PF=2

3

；在Rt△ADK中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AK=

3

3

DK=2，AD=2AK=4，則AC=AK+CK=

16

3

，所以AB=

16

3

，于是得到BD=AB-AD=

16

3

-4=

4

3

，然后在Rt△BDG中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到BG=

1

2

BD=

2

3

．

解答：解：作FP⊥AC于P，如圖，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DG⊥BC，
∴∠BDG=30°，∠H=30°，
∴∠ADH=30°，
∵將∠ADH沿直線AD翻折交AC于點(diǎn)K，
∴∠ADK=∠ADH=30°，
∴∠DKH=90°，
設(shè)CF=3x，則CK=5x，
∵FD=FE，F(xiàn)P⊥EK，
而DK⊥AC，
∴PE=PK，PF為△EDK的中位線，
∴PK=

1

2

KE=

1

2

×

14

3

=

7

3

，
∴PC=CK-PK=5x-

7

3

，
在Rt△PCF中，∠PCF=60°，∠PFC=30°，
∴FC=2PC，即3x=2（5x-

7

3

），解得x=

2

3

，
∴PC=5×

2

3

-

7

3

=1，F(xiàn)C=2，
∴PF=

3

PC=

3

，
∴DK=2PF=2

3

，
在Rt△ADK中，∠ADK=30°，
∴AK=

3

3

DK=2，AD=2AK=4，
∴AC=AK+CK=2+5×

2

3

=

16

3

，
∴AB=

16

3

，
∴BD=AB-AD=

16

3

-4=

4

3

，
在Rt△BDG中，∠BDG=30°，
∴BG=

1

2

BD=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．