【題目】如圖所示,已知拋物線經(jīng)過點 A (-2,0)、 B 40)、 C 0,-8),拋物線 y a x 2 b x c a≠0)與直線 y x 4交于 B D 兩點.

1求拋物線的解析式并直接寫出 D 點的坐標(biāo);

2 P 為拋物線上的一個動點,且在直線 BD 下方,試求出 BDP 面積的最大值及此時點 P 的坐標(biāo);

3 Q 是線段 BD 上異于 B D 的動點,過點 Q QF x 軸于點 F , 交拋物線于點 G 當(dāng) QDG 為直角三角形時,求點 Q 的坐標(biāo).

【答案】1 (-1,-5);(2 (,-);(3 (2-2) (3,-1)

【解析】試題分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將點C的坐標(biāo)代入可求得a的值,然后將y=x-4與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可;

(2)過點PPE∥y軸,交直線AB與點E,設(shè)P(x,x2-2x-8),則E(x,x-4),則PE═-x2+3x+4,然后依據(jù)SBDP=SDPE+SBPE,列出△BDP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

(3)設(shè)直線y=x-4y軸相交于點K,則K(0,-4),設(shè)G點坐標(biāo)為(x,x2-2x-8),點Q點坐標(biāo)為(x,x-4),先證明△QDG為等腰直角三角形,然后根據(jù)

∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可.

試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將點C的坐標(biāo)代入得:-8a=-8,解得:a=1,

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-8.

y=x-4代入拋物線的解析式得:x2-2x-8=x-4,解得:x=4x=-1,

x=-1代入y=x-4得:y=-5.

∴D(-1,-5).

(2)如圖所示:

過點PPE∥y軸,交直線AB與點E,設(shè)P(x,x2-2x-8),則E(x,x-4).

∴PE=x-4-(x2-2x-8)=-x2+3x+4.

SBDP=SDPE+SBPE=PExp-xD+PExB-xE=PExB-xD=-x2+3x+4=-x-2+

∴當(dāng)x=時,△BDP的面積的最大值為

P-).

(3)設(shè)直線y=x-4y軸相交于點K,則K(0,-4),設(shè)G點坐標(biāo)為(x,x2-2x-8),點Q點坐標(biāo)為(x,x-4).

∵B(4,0),

∴OB=OK=4.

∴∠OKB=∠OBK=45°.

∵QF⊥x軸,

∴∠DQG=45°.

若△QDG為直角三角形,則△QDG是等腰直角三角形.

①當(dāng)∠QDG=90°時,過點DDH⊥QGH,

∴QG=2DH,QG=-x2+3x+4,DH=x+1,

∴-x2+3x+4=2(x+1),解得:x=-1(舍去)或x=2,

∴Q1(2,-2).

②當(dāng)∠DGQ=90°,則DH=QH.

∴-x2+3x+4=x+1,解得x=-1(舍去)或x=3,

∴Q2(3,-1).

綜上所述,當(dāng)△QDG為直角三角形時,點Q的坐標(biāo)為(2,-2)或(3,-1).

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;;⑤若,且,

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求得界點,標(biāo)示所需,當(dāng)y=0時,求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為 ;并用鋸齒線標(biāo)示出函數(shù)y=﹣2x2﹣4x圖象中y0的部分.

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